初等數論 2.1 線性Diophantine方程

定義：設$a_1,a_2,\cdots,a_n,c\in\Z$，且$a_1a_2\cdots a_n\neq0$，關於未知數$x_1,x_2,\cdots,x_n\in\Z$的方程$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=c$稱爲n元一次不定方程.若$\exists x_0^{\prime},x_1^{\prime},\cdots ,x_n^{\prime}$滿足方程，則稱有序數組$(x_0^{\prime},x_1^{\prime},\cdots ,x_n^{\prime})$是不定方程的解.
定理：不定方程$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=c$有解當且僅當$(a_1,a_2,\cdots,a_n)\mid c$.
推論：設$a_1,a_2,\cdots,a_n$是非零整數，$c\in\Z$，且$(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1})=d_{n-1}，(a_1,a_2,\cdots,a_n)=d_n$，則$(x_0^{\prime},x_1^{\prime},\cdots ,x_n^{\prime})$當且僅當$t\in\Z$，使得$(x_0^{\prime},x_1^{\prime},\cdots ,x_n^{\prime})$是方程組$\displaystyle \begin{cases} a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_{n-1}x_{n-1}=d_{n-1}t \\ d_{n-1}t+a_nx_n=c \end{cases}$的整數解.

從而可以將n元一次不定方程轉化爲n-1個二元一次不定方程.

定理：當二元一次不定方程$ax+by=c$有一解$\displaystyle \begin{cases} x=x_0 \\ y=y_0 \end{cases}$時，方程的所有解爲$\displaystyle \begin{cases} x=x_0-\dfrac{b}{(a,b)}t \\ y=y_0+\dfrac{a}{(a,b)}t \end{cases} \quad \forall t\in\Z$
定義：設$x,y,z\in\Z^+$，若滿足$x^2+y^2=z^2$，則稱$x,y,z$是一組勾股數.
定義：對於方程$x^2+y^2=z^2$，滿足$xyz=0$的解稱爲其平凡解，否則稱爲非平凡解.

顯然，方程$x^2+y^2=z^2$的全體平凡解是$\begin{cases} x=0 \\ y=\pm a \\ z=\pm a \end{cases}或\begin{cases} x=\pm a \\ y=0 \\ z=\pm a \end{cases}, \quad a\ge 0$.

定義：若$x,y,z\in\Z^+$是方程$x^2+y^2=z^2$的解，且$(x,y,z)=1$，則稱$x,y,z$是方程的本原解.
定理：不定方程$x^2+y^2=z^2$的本原解一定滿足$(x,y)=(y,z)=(z,x)=1，且2\nmid (x+y)$
定理：滿足不定方程$x^2+y^2=z^2$，且$y$爲偶數的全體本原解具有形式$\begin{cases} x=a^2-b^2 \\ y=2ab \\ z=a^2+b^2 \end{cases}$其中$a>b>0$，且$(a,b)=1，2\nmid (a+b)$.
推論：滿足不定方程$x^2+y^2=z^2$，且$x$爲偶數的全體本原解具有形式$\begin{cases} x=2ab \\ y=a^2-b^2 \\ z=a^2+b^2 \end{cases}$其中$a>b>0$，且$(a,b)=1，2\nmid (a+b)$.
推論：單位圓周上的全部有理點是$\displaystyle (\pm \dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2},\pm \dfrac{2ab}{a^2+b^2})$和$\displaystyle (\pm \dfrac{2ab}{a^2+b^2},\pm \dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2})$，其中$a,b\in\Z$不全爲$0$.

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練習：1.證明：若$n=ab-a-b$，則$ax+by=n$沒有非負解.
2.求Diophantine方程$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{14}$的整數解.
3.證明方程$x^2-3y^n=-1，n\in\Z^+$無整數解.