初等數論 2.3 剩餘類

定理：由同餘關係是一種等價關係，對於給定的$m\in\Z^+$，可以通過模$m$對應$\Z$的分拆.
定義：設$m\in\Z^+$，對每個整數$0\le r \le m-1$，稱集合$\displaystyle C_r={n\mid n\equiv r\pmod m，n\in\Z}$爲模$m$的一個剩餘類.

$C_0,C_1,\cdots,C_{m-1}$構成$\Z$的一個分拆.

定義：設$m\in\Z^+$，從模$m$的每個剩餘類中任取一個數$\displaystyle x_i(0\le i \le {m-1})$，稱集合$\displaystyle \{x_0,x_1,\cdots,x_{m-1}\}$爲模$m$的一個完全剩餘類（complete residue system）.

模$m$的完全剩餘繫有無窮多個.

一些常用的完全剩餘系：
1.模$m$的最小非負完全剩餘系：$\displaystyle \{0,1,2,\cdots,m-1\}$.
2.模$m$的最小正完全剩餘系：$\displaystyle \{1,2,\cdots,m\}$.
3.模$m$的絕對最小完全剩餘系：$\displaystyle \begin{cases} \{-\dfrac{m-1}{2},\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots,\dfrac{m-1}{2}\} \quad m爲奇數 \\ \{-\dfrac{m}{2}+1,\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots,\dfrac{m}{2}\}或\{-\dfrac{m}{2},\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots,\dfrac{m}{2}+1\} \quad m爲偶數 \end{cases}$
定理：$m$個整數構成模$m$的一個完全剩餘系當且僅當它們兩兩模$m$不同餘.
定理：設$m\in\Z^+，a,b\in\Z，(a,m)=1$，若$\{x_1,x_2,\cdots,x_m\}$是模$m$的一個完全剩餘系，則$\{ax_1+b,ax_2+b,\cdots,ax_m+b\}$也是模$m$的一個完全剩餘系.
定理：設$m_1,m_2\in\Z^+，k\in\Z$，且$(k,m_1)=1$.又設$\displaystyle X=\{x_1,x_2,\cdots,x_{m_1}\} \quad Y=\{y_1,y_2,\cdots,y_{m_2}\}$分別是模$m_1$與模$m_2$的完全剩餘系，則$\displaystyle M=\{kx+m_1y\mid x\in X,y\in Y\}$是模$m_1m_2$的一個完全剩餘系.
推論：若$m_1,m_2\in\Z^+$，且$(m_1,m_2)=1$，則當$x_1$與$x_2$分別通過模$m_1$與模$m_2$的完全剩餘時$m_2x_1+m_1x_2$通過模$m_1m_2$的完全剩餘系.
一般地，設$m_i\in\Z^+(1\le i \le n,n\ge 2)$，則當$x_i(1\le i \le n)$通過模$m_i$的完全剩餘時$\displaystyle x=x_1+m_1x_2+m_1m_2x_3+\cdots+m_1m_2\cdots m_{n-1}x_n$通過模$m_1m_2\cdots m_n$的完全剩餘系.

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練習：對於$\forall m\in\Z^+$，存在無窮多個Fibonacci數$f_n$，使得$m\mid f_n$.