初等數論 1.5 整除性

定義：設$a,b\in\Z$且$a\neq0$，若$\exist c\in\Z$，使得$b=ac$，則稱$a$整除$b$，記爲$a|b$.$a$是$b$的一個因子（factor），$b$是$a$的倍數（multiple）.否則記爲$a\nmid b$.

對於$\forall 0\neq a\in\Z$，有$\pm a \mid a , \pm 1 \mid a$，稱$\pm a,\pm 1$爲$a$的平凡因子.

定理：整除的一些性質：
1.若$b\mid a$，則$\pm b \mid \pm a$.
2.若$c\mid b , b \mid a$，則$c \mid a$.（整除具有傳遞性）
3.若$c\mid a , c \mid b$，則對於$\forall m , n \in \Z$，$c\mid (ma+nb)$.
3’.若$b\mid a_i\quad(i=1,2,\cdots,n)$，則對於$\forall m_i \in \Z$，$b\mid \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{a_im_i}$.
4.若$b\mid a,c\neq 0$，則$bc\mid ac$.
4’.若$bc\mid ac,c\neq 0$，則$b\mid a$.
5.若$b\mid a,a\neq 0$，則$\lvert b\rvert \le \lvert a\rvert$.
5’.若$b\mid a,\lvert b\rvert > \lvert a \rvert$，則$a=0$.
5’’.若$b\mid a,a\mid b$，則$\lvert a \rvert = \lvert b \rvert$，即$a=\pm b$.

一些分解技巧：
$a^n - b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2} b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$
$a^n+b^n=\begin{cases} (a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1})\quad n爲奇數 \\ (a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots-ab^{n-2}-b^{n-1})\quad n爲偶數 \end{cases}$

定理：帶餘除法（division algorithm）：設$a,b\in\Z,b\neq 0$，則$\exists!q,r\in\Z$，使得$a=bq+r\quad 0\le r<b$.其中，$q$爲$a$被$b$除的不完全商，$r$是$a$被$b$除的餘數（最小非負餘數）.

證明：存在性：首先設$S={a-bk\mid k\in\Z}$，設$T=S\cap\N$.$T$是非空的，由良序性質，$T$中有最小元$r=a-bq$，根據集合$T$的構造，$r\ge 0$.若$r\ge b$，則$r>r-b=a-bq-b=a-b(q+1)\ge 0$，與$r$是$T$中的最小元矛盾.
唯一性：若$a=bq_1+r_1=bq_2+r_2$，則$0=b(q_1-q_2)+(r_1-r_2)$$r_2-r_1=b(q_1-q_2)$由整除性質5，$r_2-r_1=0$，從而$bq_1=bq_2$，由整除性質4，$q_1=q_2$.
綜上，$q$和$r$是唯一的.
特別地，$b\mid a$當且僅當$r=0$.

定理：在帶餘除法中，$\displaystyle q=[\frac{a}{b}],r=a-b[\frac{a}{b}]$
推論：若$a,b,d\in\Z,b\neq 0$，則$\exists!q,r\in\Z$，使得$a=bq+r\quad d\le r<\lvert b\rvert+d$.

定義：最小正餘數：令$d=1$，使$1\le r<b+1$，即$1\le r \le b$.
絕對最小余數：對於$a,b\in\Z^+,\exists!q,r\in\Z$，使得$a=bq+r$，其中$\displaystyle -\frac{b}{2}\le r\le\frac{b}{2}$

定義：在帶餘除法中，對於$a\in\Z$，當$b=2$時，若$r=0$，則稱$a$爲偶數（even），否則稱$a$爲奇數（odd）.
推廣：整數的$b$進製表示：設$1<b\in\Z$，$\forall a\in\Z$ $a=r_kb^k+r_{k-1}b^{k-1}+\cdots+r_1b+r_0$ 其中$r_k\neq 0,r_i(0\le i \le k)$是在$0$到$b-1$間唯一的整數.

練習：整數$n$爲偶數當且僅當$\displaystyle n-2[\frac{n}{2}]=0$.
設$f_n$是第$n$個Fibonacci數，證明若$m,n\in\Z^+,\quad n\mid m$，則$f_n\mid f_m$.