初等數論 2.2 同餘

定義：設$m\in\Z^+\quad a,b\in\Z$，若$a,b$被$m$除所得到的餘數相同，則稱$a$與$b$模$m$同餘，記作$a\equiv b\pmod m$.否則稱$a$與$b$模$m$不同餘，記作$a\not\equiv b\pmod m$.
定理：設$m\in\Z^+\quad a,b\in\Z$，則$a\equiv b\pmod m$當且僅當$\exists q\in\Z \quad a=mq+b$當且僅當$m\mid (a-b)$.
定理：同餘是一種等價關係.

即1.反身性：$a\equiv a\pmod m$.
2.對稱性：若$a\equiv b\pmod m$，則$b\equiv a\pmod m$.
3.傳遞性：若$a\equiv b\pmod m \quad b\equiv c\pmod m$，則$a\equiv c\pmod m$.

定理：關於同餘的一些性質：設$a_1\equiv b_1\pmod m\quad a_2\equiv b_2\pmod m$，則
1.$a_1\pm a_2\equiv b_1\pm b_2\pmod m$.
2.$ca_1\equiv cb_1\pmod m\quad \forall c\in\Z$.
3.$ka_1\equiv kb_1\pmod{km}\quad \forall k\in\Z^+$.
4.$a_1a_2\equiv b_1b_2\pmod m$.
一般地，若$a_k\equiv b_k\pmod m\quad k=1,2,\cdots,n$，則
1.$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{a_k}\equiv \sum_{k=1}^{n}{b_k}\pmod m$.
2.$\displaystyle \prod_{k=1}^{n}{a_k}\equiv \prod_{k=1}^{n}{b_k}\pmod m$.
2’.若$a\equiv b\pmod m$，則$a^n\equiv b^n\pmod m \quad \forall n\in\Z^+$.
推論：設$a_i,b_i(0\le i \le n),u,v\in\Z$，若$a_i\equiv b_i\pmod m \quad \forall 0\le i \le n,u\equiv v\pmod m$，則$\displaystyle \sum_{i=0}^{m}{a_iu^i}\equiv\sum_{j=0}^{n}{b_jv^j}\pmod m$特別地，對於整係數多項式$f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$，有$f(n)\equiv f(v)\pmod m$.
定理：同餘對除法的性質：
1.若$a\equiv b\pmod m,d\mid m,d>0$，則$a\equiv b\pmod d$.
2.若$a_1a_2\equiv b_1b_2\pmod m,a_2\equiv b_2\pmod m$且$(a_2,m)=1$，則$a_1\equiv b_1\pmod m$.
3.若$a\equiv b\pmod m,d\mid (a,b,m),d>0$，則$\dfrac{a}{d}\equiv\dfrac{b}{d}\pmod{\dfrac{m}{d}}$.
4.若$(a,m)=1$，則$\exists b\in\Z$，使得$ab\equiv1\pmod m$.
定義：若$(a,m)=1$，稱滿足$ab\equiv1\pmod m$的整數$b$爲$a$對模$m$的逆，記爲$a^{-1}$.
定理：同餘式$a\equiv b\pmod{m_i} \quad i=1,2,\cdots,n$同時成立當且僅當$a\equiv b\pmod {[m_1,m_2,\cdots,m_n]}$.