初等數論 1.1 數和序列

定義：整數集合$\Z=\{ \cdots ，-2，-1，0，1，2，\cdots \}$
公理：良序性質（The Well-Ordering Property）每個非空的正整數集合都有一個最小元.
注意${ Z }$沒有良序性質.
定義：有理數集合$ℚ=\{\frac{m}{n}:m\in\Z,n \in\Z ,n\neq0 \}$

練習：證明$\sqrt{2}$是無理數.
證明：假設$\sqrt{2}$是有理數，則$\exists a,b\in\Z，\sqrt{2}=\frac{a}{b}$，則記集合$S=\{k\sqrt{2}|k\in \Z^{+} \}\neq\phi$（因爲$a=b\sqrt{2}\in S$）由良序性質，${S}$中有最小元，比如$s=t\sqrt{2}$.
注意$s\sqrt{2}-s=s\sqrt{2}-t\sqrt{2}=\left(s-t\right)\sqrt{2}$，由於$s\sqrt{2}=2t$和$s$都是整數，則$s\sqrt{2}-s=\left(s-t\right)\sqrt{2}$也是整數.而且由於$\sqrt{2}-1>0$，這個數在$S$中，又$\sqrt{2}-1<1$，與$s$是$S$中的最小元矛盾，所以$\sqrt{2}$是無理數.

定義：數$\alpha$爲代數數當且僅當$\alpha$是整係數多項式的根.即$\exists a_0,a_1,\cdots,a_n \in \Z$使得$a_n\alpha^n+\cdots+a_1\alpha+a_0=0$.否則數$\alpha$稱爲超越數.

所有有理數都是代數數，因爲$\frac{b}{a}\inℚ$是方程$ax-b=0,a,b\in\Z$的根.

定義：實數$x$中的最大整數（greatest integer）記爲$\left[x\right]$，滿足$\left[x\right]\in\Z$且$\left[x\right]\le x<\left[x\right]+1$

也稱爲取整函數（floor function）$\lfloor x\rfloor$.
上整數函數（ceiling function）$\lceil x\rceil$是大於或等於$x$的最小整數.

定義：實數$x$的分數部分（fractional part）記爲$\left\{x\right\}:=x-\left[x\right].$
定理：Dirichlet逼近定理：若$\alpha\in \R , n \in \N^+$，則$\exists a,b \in \Z,1\le a \le n, 1\le b \le n$，使得$\left| a\alpha -b \right|<\frac{1}{n}$

定義：一個集合可數（countable）當且僅當集合是有限集或和$\Z^+$之間存在雙射.否則集合不可數（uncountable）.

$ℚ$是可數集.