初等數論 2.6 同餘方程(2)

定理：Fermat小定理：設$p$是素數，若$a\in\Z^+，p\nmid a$則$a^{p-1}\equiv 1\pmod p$.
定理：設$p$是素數，$a\in\Z^+$，則$a^p\equiv a\pmod p$.
推論：若$p$是素數，$a\in\Z，p\nmid a$，則$a^{p-2}$是$a$模$p$的逆.
推論：設$a,b\in\Z^+$，$p$是素數，$p\nmid a$，則線性同餘方程$ax\equiv b\nmid p$的解是滿足方程$x\equiv a^{p-2}b\pmod p$的整數$x$.
定理：（中國剩餘定理）：設$m_1,m_2,\cdots,m_n\in\Z^+$，且$(m_i,m_j)=1 \quad 1\le i,j \le n \quad i\neq j$，則同餘方程$x\equiv a_1\pmod {m_1} \\ x\equiv a_2\pmod {m_2} \\ \vdots \\ x\equiv a_r\pmod {m_r}$的解是$\displaystyle x\equiv\sum_{i=1}^{n}{a_iM_iM'_i}\pmod M$其中$M=[m_1,m_2,\cdots,m_n]=m_1m_2\cdots m_n,M_i=\dfrac{M}{m_i}(1\le i \le n),M'_i$是滿足同餘方程$M_ix\equiv 1\pmod m_i$的整數.