初等數論 1.7 Euclid算法

引理：若$e,d\in\Z$，且$e=dq+r$，其中$q,r\in\Z$.則$(e,d)=(d,r)$.
定理（Euclid算法）：設$a,b\in\Z^+$且$a\ge b$，令$r_0=a,r_1=b$滿足$a\ge b>0$，連續使用帶餘除法，得到$r_j=r_{j+1}q_{j+1}+r_{j+2}$且$0<r_{j+2}<r_{j+1}\quad (j=0,1,2,\cdots,n-2),\quad r_{n+1}=0$，則$(a,b)=r_n$，它是最後一個非零餘數.

證明：令$r_0=a,r_1=b$滿足$a\ge b>0$，用帶餘除法： $r_0=r_1q_1+r_2 \quad 0\ge r_2<r_1$ $r_1=r_2q_2+r_3 \quad 0\ge r_3<r_2$ $\vdots$ $r_{j-2}=r_{j-1}q_{j-1}+r_j \quad j-2\ge r_j<r_{j+1}$ $\vdots$ $r_{n-2}=r_{n-1}q_{n-1}+r_n \quad n-2\ge r_n<r_{n+1}$ $r_{n-1}=r_nq_n$ 序列$\displaystyle a=r_0\ge r_1>r_2>\cdots\ge 0$包含的項數不會超過$a$，由引理和數學歸納法，$\displaystyle (a,b)=(r_0,r_1)=(r_1,r_2)=\cdots=(r_{n-1},r_n)=(r_n,0)=r_n$.
因此$\displaystyle (a,b)=r_n$.

用相反的步驟可以求出$a,b$的Bezout係數.

若$(a,b)=ma+nb$，對於$\displaystyle \forall t\in\Z,\quad (a,b)=(m+tb)a+(n-ta)b$，所以$a,b$的Bezout係數不是唯一的.