初等數論 1.6 最大公因數

定義：設$a_1,a_2,d\in\Z$，若$d\mid a_1,d\mid a_2$，則稱$d$是$a_1$和$a_2$的公因數（common divisor）.
一般地，設$a_1,a_2,\cdots,a_n,d\in\Z$，若$d\mid a_i$對$\forall1\le i \le n$成立，則稱$d$是$a_1,a_2,\cdots,a_n$的公因數.
定義：設$a_1,a_2\in\Z$不全爲$0$，稱$a_1,a_2$公因數中最大者爲$a_1,a_2$的最大公因數（greatest common divisor），記做$gcd(a_1,a_2)$或$(a_1,a_2)$.
一般地，設$a_1,a_2,\cdots,a_n\in\Z$不全爲$0$，稱$a_1,a_2,\cdots,a_n$公因數中最大者爲$a_1,a_2,\cdots,a_n$的最大公因數，記做$gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)$或$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$.

若$d$是$a_1,a_2,\cdots,a_n$的公因數，則$-d$也是$a_1,a_2,\cdots,a_n$的公因數.所以$(a_1,a_2,\cdots,a_n)\in\Z^+$.

定義：若$(a_1,a_2)=1$，則稱$a_1,a_2$互素.
一般地，若$(a_1,a_2,\cdots,a_n)=1$，則稱$a_1,a_2,\cdots,a_n$互素.

若$a_1,a_2,\cdots,a_n$兩兩互素，則$(a_1,a_2,\cdots,a_n)=1$.
設$a,b\in\Z$不全爲$0$，則$\displaystyle {k(a,b)\mid k\in\Z}={ma+nb\mid m,n\in\Z}$

定理：設$a_1,a_2,\cdots,a_n\in\Z$，記$\displaystyle A={y\mid y=\sum_{i=1}^{n}{a_ix_i},\quad x_i\in\Z,\quad 1\le i \le n}$，則$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$是$A$中最小的正整數.
推論：（Bezout定理）：設$a_1,a_2,\cdots,a_n\in\Z$不全爲$0$，則$\exists x_1,x_2,\cdots,x_n\in\Z$，使得$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{a_ix_i}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$.
推論：若$d\mid a_i$對$\forall 1\le i \le n$成立，則$d\mid (a_1,a_2,\cdots,a_n)$.
一般地，若$b_i\mid a_i$對$\forall 1\le i \le n$成立，則$(b_1,b_2,\cdots,b_n)\mid (a_1,a_2,\cdots,a_n)$.
推論：若$a_1,a_2,\cdots,a_n\in\Z$不全爲$0$，對$\forall m\in\Z$，$\exists x_1,x_2,\cdots,x_n\in\Z$，使得$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{a_ix_i}=m$當且僅當$(a_1,a_2,\cdots,a_n)\mid m$.

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{a_Ix_i}=1$當且僅當$(a_1,a_2,\cdots,a_n)=1$.

定理：最大公因數的一些性質：
1.$(a,b)=(b,a)=(\lvert a \rvert , \lvert b \rvert )$.
1’.$(a_1,a_2,\cdots,a_n)=(a_{i_1},a_{i_2},\cdots,a_{i_n})=(\lvert a_1 \rvert , \lvert a_2 \rvert , \cdots , \lvert a_n \rvert )$.其中，$(i_1,i_2,\cdots,i_n)$是$(1,2,\cdots,n)$的一個排列.
2.若$a\neq 0$，則$(a,0)=a\quad (a,a)=\lvert a \rvert$.

一般地，$(0,a_2,\cdots,a_n)=(a_2,\cdots,a_n)$.

3.若$b\mid a$，則$(a,b)=\lvert b \rvert$，且對$\forall c\in\Z$，有$(b,c)\mid (a,c)$.
4.$(a_1,a_2)=(a_1,a_2+ka_1)\quad \forall k\in\Z$.
4’.$(a_1,a_2,\cdots,a_n)=(a_1,a_2+k_2a_1,\cdots,a_n+k_na_1)\quad \forall k_2,\cdots,k_n \in\Z$.
5.若$a=bq+r$，則$(a,b)=(b,r)\quad q,r\in\Z$.
6.$(ma,mb)=\lvert m \rvert (a,b)$，其中$m\neq 0$.
6’.$(ma_1,ma_2,\cdots,ma_n)=\lvert m \rvert (a_1,a_2,\cdots,a_n)$.
7.$\displaystyle (\frac{a}{(a,b)},\frac{b}{(a,b)})=1$.
7’.$\displaystyle (\frac{a_1}{(a_1,a_2,\cdots,a_n)},\frac{a_2}{(a_1,a_2,\cdots,a_n)},\cdots,\frac{a_n}{(a_1,a_2,\cdots,a_n)})=1$.
8.設$a,b,c\in\Z$，若$b\mid ac$且$(a,b)=1$，則$b\mid c$.

若$a\mid c，b\mid c$且$(a,b)=1$，則$ab\mid c$.
若$(a,b)=1$，則$(a,bc)=(a,c)$.

8’.$\displaystyle (a_i,b_j)=1 \quad 1\le i \le m \quad 1\le j \le n$，則$(a_1a_2\cdots a_n,b_1b_2\cdots b_n)=1$.

對於$\forall m,n\in\Z，(a,b)=1$當且僅當$(a^m,b^n)=1$.

8’’.設$a,b\in\Z$不全爲$0$，$n\in\Z^+$，則$(a^n,b^n)=(a,b)^n$.
8’’’.設$a,b\in\Z$，$a\mid b$當且僅當$a^n\mid b^n$.
定義：與公因子相似，設$a,b\in\Z$均不爲$0$，若$a_1\mid m,\quad a_2\mid m$，則稱$m$爲$a_1,a_2$的公倍數.
一般地，非零整數$a_1,a_2,\cdots,a_n$的公倍數中的最小正整數稱爲$a_1,a_2,\cdots,a_n$的最小公倍數（least common multiple）.記爲$\displaystyle [a_1,a_2,\cdots,a_n]$.

最小公倍數和最大公因數有相似的性質.

定理：設$a,b\in\Z$均不爲$0$，則$\displaystyle(a,b)[a,b]=\lvert ab \rvert$.
定義：設$a\in\Z$且$a>1$.若$a$的正因數只有$1$和$a$，則稱$a$爲素數（prime number）.否則稱$a$爲合數.

定義：$\pi(x)$表示小於或等於某個實數$x$的素數個數.

定理：設$a\in\Z$且$a>1$，則$a$的除$1$以外的最小正因數爲素數，且$a$爲合數時，必有$\displaystyle q\le \sqrt{a}$.
推論（Eratosthenes篩法）：若大於$1$的整數$a$不能被任何不超過$\displaystyle \sqrt{a}$的素數整除，則$a$必爲素數.
定理：素數有無窮多個.

證明：設$\Z^+$中只有有限個素數$p_1,p_2,\cdots,p_k$，考慮$a=p_1p_2\cdots p_k+1$，顯然$a>1$,$a$有素因數$p$，且$\displaystyle p\in{p_1,p_2,\cdots,p_k}$，則$p\mid p_1p_2\cdots p_k$.由$p\mid a$，$p=\pm 1$.與$p$是素數矛盾，所以素數有無窮多個.

定理：設$p$是素數，$a\in\Z$，則$p\mid a$或$(p,a)=1$.
推論：設$p$是素數，$a_1,a_2,\cdots,a_n\in\Z$，若$p\mid a_1a_2\cdots a_n$，則$\exists a_i \quad 1\le i \le n$，使得$p\mid a_i$.

若$p$爲素數，$\displaystyle p\mid a^n \quad (n\ge 1)$當且僅當$p\mid a$.