【运筹学笔记】 第一章 线性规划与单纯形法

运筹学绪论

运筹学是一门应用于管理有组织系统的科学，根据问题的要求，通过数学分析与计算，做出综合性的合理安排，以期达到资源的最优化利用。

运筹学考虑系统的整体优化、多学科的配合以及模型方法的应用，其研究可以分为以下几个步骤：

1.分析与表述问题。
2.建立模型
3.对问题求解
4.对模型和由模型导出的解进行检验
5.建立对解的有效控制
6.方案的实施。

其中，建模是运筹学方法的核心和精髓。

线性规划与单纯形法

线性规划（Linear programming,简称LP），是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。

线性规划模型的组成要素和特征

决策变量 指决策者为实现规划目标采取的方案、措施，是问题中要确定的未知量。

目标函数 指问题要达到目标的要求，表示为决策变量的函数。

约束条件 指决策变量取值时受到的各种限制，表示为决策变量的等式或不等式。

定义：目标决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件都是线性的，这类模型称为线性规划模型。

线性规划问题的一般形式

1.标量形式

决策变量 $\{x_i|i=1,2,...,n\}$

目标函数 $max(min)~z=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n$

约束条件 $s.t.=\left\{ \begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n \le(=,\ge)b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n \le(=,\ge)b_2,\\ ~~\vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n \le(=,\ge)b_m,\\ x_j\ge0~或~x_j\le0~或~x_j无约束 \end{matrix} \right.$

一般用$~n~$表示决策变量的个数，$~m~$代表约束等式/不等式的个数

通常情况下要求$~m<n~$，否则可能导致没有可行解

2.向量形式

决策变量 $X=(x_1~x_2~\ldots~x_n)^T$

目标函数 $max(min)~z=CX$

约束条件 $s.t.=\left\{ \begin{matrix} \displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_jP_j\le(=,\ge)b\\ X\ge 0 \end{matrix} \right.$

其中 $C=(c_1~c_2~...~c_n),P_j=(a_{1j}~a_{2j}~\ldots~a_{mj})^T,b=(b_1~b_2~...~b_m)^T$.

注意列向量$~P\ge Q~$意味着 $\forall i~~P_i\ge Q_i$，矩阵也类似

3.矩阵形式

$max(min)~z=CX\\ s.t.=\left\{ \begin{matrix} AX\le(=,\ge)b\\ X\ge 0 \end{matrix} \right.\\ 其中~C=(c_1~c_2~...~c_n),\\ A=\left[\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\\ \end{matrix} \right],X=\left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\\\end{matrix}\right),b=\left(\begin{matrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\\\end{matrix}\right)$

称为约束方程组变量的系数矩阵，简称为约束变量的系数矩阵。

线性规划问题的标准形式

对于一般的线性规划模型缺乏统一的结构，这在问题的求解上无疑增加了一定的难度，因此，我们在定义线性规划的标准形式如下：

决策变量 $\{x_i|i=1,2,...,n\}$

目标函数 $max(min)~z=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n$

约束条件 $s.t.=\left\{ \begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2,\\ ~~\vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m,\\ x_1\ge0,x_2\ge0,\dots x_n\ge0 \end{matrix} \right.$

其中$~b_j\ge0,1\le j\le m.$

矩阵形式
$max~z=CX\\ s.t.=\left\{ \begin{matrix} AX=b\\ X\ge 0 \end{matrix} \right.$

其中$A\in \mathbb{R}^{m\times n}$是一个行满秩矩阵

标准形式的转化

1.目标函数

目标函数的极小值$\Leftrightarrow$目标函数相反数的最大值，即$~min~z=CX \Rightarrow max~z'=-CX$

2.约束条件

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_{ij}x_j\le b_i~~\Rightarrow~~\sum_{i=1}^{n} a_{ij}x_j+x_{n+i}=b_i~~(x_{n+i}\ge0)$，其中$~x_{n+i}~$称为松弛变量

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_{ij}x_j\ge b_i~~\Rightarrow~~\sum_{i=1}^{n} a_{ij}x_j-x_{n+i}=b_i~~(x_{n+i}\ge0)$，其中$~x_{n+i}~$称为剩余变量

松弛变量可以理解为资源的剩余，剩余变量可以理解为需求的溢出

$b_i\le0~~\Rightarrow~~b_i=-b'_i,a_{ij}=-a'_{ij}~$其中$~1\le j\le n~,~b'_i\ge0$

3.决策变量

无约束决策变量：$x_j~$无限制$\Rightarrow x_j=x'_j-x''_j~$，其中$x'_j,x''_j\ge0$

非正变量：$x_j\le0\Rightarrow x_j=-x'_j$，其中$~x'_j\ge0$

线性规划问题的解

可行解：如果一个非负矩阵$~X~$满足约束方程，则称矩阵$~X~$为可行解。

可行域：可行解组成的集合$\Omega=\{X\mid AX=b,X\ge0,X\in\mathbb{R}^n\}$称为可行域，可行域中使得目标函数达到最大值的可行解称为最优解。

基：若$~B~$是$~A~$的一个$~m\times m~$阶的满秩子矩阵，则称$~B~$为线性规划问题的一个基。$B~$中的每一个列向量用$~P_j~$表示，注意这里基是一组系数矩阵。
$B=\left[\begin{matrix} b_{11}&b_{12}&\ldots&b_{1m}\\ b_{21}&b_{22}&\ldots&b_{2m}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ b_{m1}&b_{m2}&\ldots&b_{mm}\\ \end{matrix}\right]=(P_1,P_2,\dots,P_m)$
基解：假设$~B~$为一个基，可知存在$~x_1,\ldots,x_m~$使得$~x_1P_1+\ldots x_mP_m=b$，则称$X=(x_1,\ldots,x_m,0,\ldots,0)^T$为基$~B~$的基解，其中$~x_1,\dots,x_m~$称为基变量，其余的决策变量称为非基变量。

基可行解：若满足变量非负约束条件的基解称为基可行解。

可行基：假对应于基可行解的基称为可行基。

退化解：当基解中的非零分量小于$~m~$个时，该基解是退化解

解的维恩图表示：

线性规划问题的解法

1.图解法（略） 2.单纯形法

预备知识

凸集：假设$~C\subset\mathbb{R}^n$.若对任意$~X,Y\in C~$和$~0<\lambda<1~$,都有$~\lambda X+(1-\lambda)Y\subset C~$,则称$~C~$为一个凸集（Convex set）。从直观上讲，凸集没有凹入部分，其内部也没有空洞。

凸组合：设向量$~\{x_i\},i=1,2,\dots,n$，如果有实数$\lambda_i\ge0~$且$~ \displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i=1$,则称$~\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i~$为向量$~\{x_i\}~$的凸组合（凸线性组合）

顶点：假设$~C~$是凸集，且$~X\in C~$.若不存在$~X_1,X_2\in C~$使得$~X=\lambda X_1+(1-\lambda)X_2~$,其中$0<\lambda<1$，则$~X~$称为$~C~$的一个顶点.

凸集内点与其顶点的关系：若$~C~$是有界的凸集，则对任意$~X\in C~$，都可以表示成$~D~$的顶点的凸组合。

几个基本定理（证明不考）

定理1：若线性规划问题存在可行解，则其可行域是凸集。
证明：我们我们考察如下的标准形式的线性规划问题：
$max~z=CX\\ s.t.=\left\{ \begin{matrix} AX=b\\ X\ge 0 \end{matrix} \right.$
两个不同的解是$~X~$和$~Y~$满足$~AX=AY=b,X\ge0,Y\ge0~$，则对于任意$~0<\lambda<1$，我们有$~A(\lambda X+(1-\lambda)Y)=b,\lambda X+(1-\lambda)Y\ge0~$.所以可行域为凸集。

定理2：线性规划问题的基可行解对应线性规划问题可行域的顶点。

引理 1：线性规划问题的可行解 X 为基可行解的充要条件是 X 的正分量所对应的系数列向量是线性无关的.（由基可行解的定义可知必要性是显然的. ）

证明：假设$X$为一个基可行解，若$~X~$不是一个顶点，则可行域中存在两个不同的点$~Y,Z~$使得$~X=\lambda Y+(1-\lambda)Z,0<\lambda<1~$，不妨设$~X~$只有前$~k~$个分量大于0，显然$~Y,Z~$后$~n-k~$个分量都为0，我们有
$\sum_{i=1}^kx_iP_i=b,~\sum_{i=1}^ky_iP_i=b,~\sum_{i=1}^kz_iP_i=b.$

由于$~P_1,P_2,\dots,P_k~$线性无关（也就是方程只有一个解），我们得到$~X=Y=Z~$，与我们的假设矛盾，所以$X$一定是一个顶点。

如果假设$X$是一个顶点，并且假设其只有前$~k~$个分量大于0，若果$~X~$不是一个基可行解，则由引理可知$~P_1,P_2,\dots,P_k~$线性相关，说以存在$~k~$个不为零的实数使得
$d_1P_1+d_2P_2+\dots+d_kP_k=0\\ D=(d_1,d_2,\dots,d_k,0,\dots,0)^T$
显然有$~AX=0\rightarrow A(X+sD)=A(X-sD)=b~$，对任意实数$~s~$都成立，$\exist s>0, X+sD\ge0~\wedge~X-sD\ge0$，则$~X~$是可行域中$~X+sD~$和$~X-sD~$的中点，这与$X$是一个顶点矛盾，所以$X$一定是一个基可行解。

定理3：若线性规划问题存在最优解，则一定存在一个基可行解是最优解。

引理2：若$X$是一个最优解，且$~X=\lambda Y+(1-\lambda)Z~$，其中$~Y,Z~$是两个可行解，$0<\lambda<1$，则$~CX=CY=CZ~$.（反证法易得）

证明：设$X$是一个最优解，且不妨假设其只有前$k$个分量大于0，若$X$是一个基可行解，则证毕；否则存在$k$个不全为0的实数使得（5）式成立，且$A(X+rD)=A(X-sD)=b~$对任意实数$~s,r~$都成立，同时$X+rD$和$X-sD$至少有一个正分量的数量小于$~k$。则由上一个引理可知我们得到了一个新的最优解，且这个最优解的正分量的数量小于$~k$，若新的到的最优解依然不是基可行解，重复上面的过程，我们可以得到一个新的最优解，这个最优解的正分量的数量小于$~k$，以此类推，经过有限步之后，我们肯定可以得到一个基可行解. 证毕.

定理4：若线性规划问题有可行解，则必有基可行解

定理5：若线性规划问题有最优解，则必有最优基可行解

单纯形法

确定初始基可行解

当线性规划问题全部为“$\le$”时，在化为标准型时，加入的m个松弛变量所构成的单位矩阵就可以构成一组基：设给定线性规划问题
$max~z=\sum_{j-1}^n c_jx_j\\ s.t.=\left\{ \begin{matrix} \displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_jP_j\le b\\ x_j\ge 0 \end{matrix} \right.$
在第$~i~$个约束条件上加上松弛变量$~s_{si},(i=1,\dots,m)$，化为标准形式
$max~z=\sum_{j-1}^n c_jx_j+0\sum_{i=1}^m x_{si}\\ s.t.=\left\{ \begin{matrix} \displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j+x_{si}=b,(i=1,2,\dots,m)\\ x_j\ge 0 \end{matrix} \right.$
其约束方程的系数矩阵为
$\left[\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}&1&0&\dots&0\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}&0&1&\dots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}&0&0&\dots&1\\ \end{matrix}\right]$
这个系数矩阵中含有一个单位向量$(P_{s1},P_{s2},\dots,P_{sm})$，只要以这个单位矩阵作为基，就可以立即解出基变量值$~x_{si}=b_i~$，因为$~b_i\ge0~$,因此$~X=(0,\dots,0,b_1,\dots,b_m)^T$就是一个基可行解。

当线性规划问题中约束条件包含"$=$“或”$\ge$"时，化为标准型后一般不包含单位矩阵，这时常用添加人工变量的方法人为构造一个单位矩阵作为基，称为人工基，具体方法在后面讨论。

基可行解的转换

不失一般性，设初始基可行解为
$~X^{(0)}=(x^0_1,x^0_2,\dots,x^0_m,\overbrace{0,\dots,0}^{n-m个})^T=\left(\begin{matrix}X_B\\X_N\end{matrix}\right),A=(B~N)$
其中$B$是对应的可行基，相应的，设$C=(C_B,C_N)$，我们有$AX^{(0)}=(B,N)\left(\begin{matrix}X_B\\X_N\end{matrix}\right)=BX_B=b$，我们有$X_B=B^{-1}b,X_N=0$，

此时目标函数值$~z^{(0)}=CX=(C_B~C_N)\left(\begin{matrix}X_B\\X_N\end{matrix}\right)=C_BX_B-C_NX_N=C_BB^{-1}b.$

原始方程组的增广形式为：

$\left.\begin{matrix}\\ P_1~&P_2&~~\dots&~~P_m&~P_{m+1}~~&\dots&~~P_j&\dots~&P_n&~~b\\ \end{matrix}\right.\\ \left[\begin{array}{ccccccccc|c} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1m}&a_{1,m+1}&\dots&a_{1j}&\dots&a_{1n}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2m}&a_{2,m+1}&\dots&a_{2j}&\dots&a_{2n}&b_2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&&\vdots&&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mm}&a_{m,m+1}&\dots&a_{mj}&\dots&a_{mn}&b_m\\ \end{array}\right]$

因为$~P_1,P_2,\dots,P_m~$是$~\mathbb{R^m}~$的一组基，所以其余的$P_j$都可以用这个基来表示，我们可以将$P_j$替换为$BB^{-1}P_j$，所以有$~B(X_B-\theta B^{-1}P_j)+\theta P_j=b$，我们假设$X_B-\theta B^{-1}P_j\ge0$，那么我们得到了一个新的可行解
$\tilde{X}=\left(\begin{matrix}X_B-\theta B^{-1}P_j\\0\end{matrix}\right)+\theta e_j$
其中，$e_j~$为第$~j~$个分量为1其余分量为0的单位列向量，这个可行解的目标函数值为
$\begin{aligned} \widetilde{z}&=C\tilde{X}\\ &=(C_B~C_N)\left(\left(\begin{matrix}X_B-\theta B^{-1}P_j\\0\end{matrix}\right)+\theta e_j\right)\\ &=C_BX_B+\theta(c_j-C_BB^{-1}P_j)\\ &=z^{(0)}+\theta(c_j-C_BB^{-1}P_j) \end{aligned}$

我们令$~\sigma_j=c_j-C_BB^{-1}P_j$，则$\tilde{z}=z^{(0)}+\theta\sigma_j$，$\sigma_j~$被称为检验数。

​ 如果$~\sigma_j>0$，则新的可行解可以使目标函数变大，且$~\theta~$应该越大越好. 此时注意到为了保证$\tilde{X}$是一个可行解，应该有$~X_B-\theta B^{-1}P_j\ge0$，这个$(B^{-1}P_j)$很难处理，我们不妨在求解之前通过初等行变换把$B$化为单位矩阵（想一想，为什么可以这么做？），即化成

$\left.\begin{matrix}\\ P_1&P_2&\dots&P_m&P_{m+1}&\dots&P_j&\dots&~~P_n&~~b&\\ \end{matrix}\right.\\ \left[\begin{array}{ccccccccc|c} 1&0&\dots&0&a_{1,m+1}&\dots&a_{1j}&\dots&a_{1n}&b_1\\ 0&1&\dots&0&a_{2,m+1}&\dots&a_{2j}&\dots&a_{2n}&b_2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&\dots&1&a_{m,m+1}&\dots&a_{mj}&\dots&a_{mn}&b_m\\ \end{array}\right]$

假设$B$是一个单位矩阵且$b>0$，那么$~\theta~$的最大值显然是 $\displaystyle\theta^*=min\left\{\left.\frac{b_i}{a_{ij}}\right|a_{ij}>0,1\le i\le m\right\}$，不妨设$\displaystyle\theta^*=\frac{b_r}{a_{rj}}$，则$(P_1,\dots,P_{r-1},P_{r+1},\dots,P_m,P_j)$构成一组新的基，这个基的基解和目标函数值为

$X^{(1)}=\left(\begin{matrix}X_B-\theta^* B^{-1}P_j\\0\end{matrix}\right)+\theta^* e_j,z^{(1)}=z^{(0)}+\theta^*\sigma_j$

最优性检验和解的判别

（1） 当$~\forall~\sigma_j\le0$时，表明现有顶点的目标函数的值比起相邻各顶点的目标

函数值都大，现以顶点对应的基可行解即为最优解。（为什么局部最优解等于全局最优解？）

（2）当$~\forall~\sigma_j\le0\wedge\exist~ \sigma_r=0$时，$\tilde{X}=\left(\begin{matrix}X_B-\theta B^{-1}P_j\\0\end{matrix}\right)+\theta e_j~$和$~X^{(0)}$的线性组合都是最优解，因此有无限多个解

（3）当$\exist~\sigma_j>0\wedge(\forall~\theta>0)~X_B-\theta B^{-1}P_j\ge0$时，目标函数值可以取到无限大，最优解无界。

单纯性法的计算步骤

1. 将问题化为标准型
2. 求出线性规划的初始基可行解，列出初始单纯形表

	$c$	$c_1~\dots~\dots~c_m~~~c_{m+1}~\dots~\dots~ c_n$
$C_B$	$X_B$	$x_1~\dots~\dots~x_m~~~x_{m+1}~\dots~\dots~ x_n$	$b$	$\displaystyle\theta=\frac{b_i}{a_{ik}}$
$c_1$	$x_1$	$1~~\dots~\dots~~0~~~a_{1,m+1}~\dots\dots~ a_{1n}$	$b_1$	$\theta_1$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$c_m$	$x_m$	$0~~\dots~\dots~~1~~~a_{m,m+1}~\dots\dots~ a_{mn}$	$b_m$	$\theta_m$
	$\sigma$	$0~~\dots~\dots~~0~~~~\sigma_j=c_j-\sum c_ia_{ij}$

3. 进行最优性检验

   如果表中所有检验数$~\sigma_j\le0$，则表中的基可行解就是问题的最优解，计算停止。否则继续下一步。

4. 从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解，列出新的单纯形表

   a. 确定换入基的变量。选择$~\displaystyle\sigma_{in}=max\{\sigma_j~|~\sigma_j>0\}~$对应的变量$~x_{in}~$作为换入变量。

   b. 确定换出变量。选择$~\displaystyle\theta_{out}=min\left\{\left.\frac{b_j}{a_{jk}}~\right|~a_{jk}>0\right\}~$对应的变量$~x_{out}~$作为换出变量

   c. 用$~x_{in}~$替换基变量中的$~x_{out}~$，得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可行解，将基变量对应的矩阵化为单位矩阵，并相应地可以画出一个新的单纯形表。

单纯形法的进一步讨论

前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件的等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加的变量称为人工变量，构成的可行基称为人工基，用大M法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称为人工变量法。
比如如下线性规划问题：
$\begin{aligned} &max~z=3x_1+2x_2-x_3\\\\ s.t.=&\left\{\begin{aligned} -4x_1+3x_2+x_3\ge4,\\ x_1-x_2+2x_3\le10,\\ -2x_1+2x_2-x_3=-1,\\ x1\ge0,x_2\ge0,x2\ge0 \end{aligned}\right. \end{aligned}$

首先我们将其化为标准型：

$\begin{aligned} &max~z=3x_1+2x_2-x_3\\\\ s.t.=&\left\{\begin{aligned} -4x_1+3x_2+x_3&-x_4&&=4,\\ x_1-x_2+2x_3&&+x_5&=10,\\ 2x_1-2x_2+x_3&&&=1,\\ x_j\ge0,1\le j\le 5 \end{aligned}\right. \end{aligned}$

系数矩阵中不存在单位矩阵，无法建立初始单纯形表。

大M法

加若干个人工变量$~x~$，他们的目标函数决策系数是一个极小的负数（可以认为负无穷），以致于人工变量的取值在最优解时不可能不是0，举一个例子来理解：

解：首先将数学模型

故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：

$\begin{aligned} &max~z=3x_1+2x_2-x_3-My_6-My_7~~~(M\rightarrow+\infin)\\\\ s.t.=&\left\{\begin{aligned} -4x_1+3x_2+x_3&-x_4&&+y_6&&=4,\\ x_1-x_2+2x_3&&+x_5&&&=10,\\ 2x_1-2x_2+x_3&&&&+x_7&=1,\\ x_j\ge0,y_6,y_7>0 \end{aligned}\right. \end{aligned}$
M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值，再用前面介绍的单纯形法求解该模型。如果最优解对应的基变量中包含人工变量，说明问题无可行解。

两阶段法

第一阶段

加入人工变量，第一阶段求解的目标函数是只包含人工变量的辅助问题，令目标函数中其他变量的系数取零，人工变量的系数取某个正的常数（一般取1），在保持原问题约束不变的条件下求这个目标函数极小化的解：
$\begin{aligned} &min~z=y_6+y_7\\\\ s.t.=&\left\{\begin{aligned} -4x_1+3x_2+x_3&-x_4&&+y_6&&=4,\\ x_1-x_2+2x_3&&+x_5&&&=10,\\ 2x_1-2x_2+x_3&&&&+x_7&=1,\\ x_j\ge0,y_6,y_7>0 \end{aligned}\right. \end{aligned}$

人工变量是虚拟的，在最优时不该有取值，必须是0，第一阶段的$~z~$必须是0。

1. 如果第一阶段求解结果为$~z\neq0$，说明最优解的基变量中含有非零的人工变量，从而表明原问题无可行解，不必进行第二阶段，计算终止。

2. 如果第一阶段求解结果$~z=0$，如果辅助问题的最优基变量中没有人工变量，进入第二阶段。

3. 如果第一阶段求解结果$~z=0$，如果辅助问题的最优基变量中仍有为0的人工变量，这表明原问题有退化的情况，在辅助问题的最优的单纯形表中有：
   $y_r+\sum_{j\neq r}a_{rj}y_j+\sum_{j\in J_N}a_{rj}x_j=0$
   其中$~J_N~$为非基变量下标集，这时又分两种情况：

   (i). 若$~a_{rj}~$全为0，则人工变量所在行中有原变量（现在是非基变量）下的元素都是0，这表明原问题的约束方程中有多余的，将其去掉，转入第二阶段。

   (ii). 若$~a_{rj}~$不全为0，则以$~a_{rs}~$为主元，进行换基迭代，最后转入转入第二阶段

第二阶段

在原问题中去除人工变量，并由第一阶段得到的最优解出发，继续寻找原问题的最优解。即在第一阶段的最优单纯形表中去掉人工变量所在的行列，将价值系数改换成原问题的价值系数，进一步迭代，求解原问题。

例题

有空再补$~to~be~continue$