PID原理
PID控制算是應用非常廣泛的經典控制算法。但是怎麼理解PID這三個參數呢？在參考了別人的文章之後，我還是有點一知半解，這時候發現不自己動手算一算是很難理解PID了，但是我又不想做這種重複的計算，於是想到了通過Excel來舉個例子。
接下來，我們通過一個很簡單的例子來表示一個PID控制，並用Excel來計算PID帶來的好處等等。這個例子就是，我們要往桶裏倒水，並且我們的目標是把水位維持在1米高，初始水位爲0.5米，只能往桶裏一次一次的倒水。那麼我們開始我們的學習吧。
比例控制算法
對於比例控制算法，我們可以簡單的理解爲，每次倒入水前計算當前的誤差（error），然後給這個誤差乘以一個比例係數kp。那麼我們水位的改變量u與error之間的關係爲：u=kp*error。然後就不停的計算誤差，不停的往桶裏倒水。在這裏，通過excel表格計算可很直觀的看出來，誤差越來越小的，實際越來越接近1。
| 目標 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 實際（=上一次實際+kp*當前的error） | 0.5 | 0.5 | 0.75 | 0.875 | 0.9375 |
| error（上一次的目標-上一次的實際） | 0.5 | 0.25 | 0.125 | 0.0625 | |
| kp | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 |
我們的比例算法很好的完成了它的任務，隨着倒的次數越來越多，那麼我們實際也更加接近於我們的目標值。那麼我們爲什麼還需要使用到KI和KD呢？那麼我們接下來提出一個假設，假設桶在漏水，每次往桶裏倒水的同時，桶都會流失0.1米水高的水。因此每次的變化量爲u=kp*error-0.1，繼續用excel進行一次計算吧。
| 目標 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 多次後 | 1 |
| 實際（=上一次實際+kp*當前的error-0.1） | 0.5 | 0.4 | 0.55 | 0.675 | 0.7375 | 0.799939 | |
| error（上一次的目標-上一次的實際） | 0.5 | 0.45 | 0.325 | 0.2625 | 0.200061 | ||
| kp | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 |
可以看到，我們每次往桶裏加水之後，由於我們的桶漏水了，所以導致在多次倒水之後，我們的實際水高維持到0.8m附近，所以導致了一個穩態誤差，這意味着我們通過比例控制算法是永遠都不能實現到1米水高的願望。 （在實際情況中，這種類似水缸漏水的情況往往更加常見，比如控制汽車運動，摩擦阻力就相當於是“漏水”，控制機械臂、無人機的飛行，各類阻力和消耗都可以理解爲本例中的“漏水”）所以，單獨的比例控制，在很多時候並不能滿足要求。
積分控制算法
由於比例控制算法在實際應用過程中的侷限性很大，因此我們就需要想個辦法去消除這個穩態誤差，而如何去消除這個穩態誤差呢？我們可以想一個辦法，我們把每次計算出來的誤差累加起來，當如果遇到了穩態誤差，那我們這個數據就會越來越大，因此每次更新數據時，就可以把它添加上去，就能把穩態誤差解決啦。每次添加的水量的計算公式爲u=kp*error-0.1+ ki∗積分
| 目標 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 實際（=上一次實際+kp*當前的error-0.1+ki*積分） | 0.5 | 0.45 | 0.705 | 1.0145 | 1.19505 | 1.201345 | 1.097231 | 0.980245 | 0.917293 | 0.921104 | 0.964281 | 1.009124 | 1.031466 | 1.02824 | 1.011019 |
| error（上一次的目標-上一次的實際） | 0.5 | 0.55 | 0.295 | -0.0145 | -0.19505 | -0.20135 | -0.09723 | 0.019755 | 0.082707 | 0.078896 | 0.035719 | -0.00912 | -0.03147 | -0.02824 | |
| kp | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 |
| ki | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 |
| 積分（=上一次的積分+本次的誤差） | 0 | 0.5 | 1.05 | 1.345 | 1.3305 | 1.13545 | 0.934105 | 0.836875 | 0.856629 | 0.939336 | 1.018232 | 1.053951 | 1.044828 | 1.013361 | 0.985121 |
這裏我們取了一段很長的數據來分析一下，可以看到我們的實際值在1m附近不斷的波動。我們的想法是，無限的趨進於1。但是看圖表中的第九次（標紅）和第十次（標紅），我們可以發現我們的誤差不是在縮小反而還更大了。那麼爲什麼會有這種問題呢？這個肯定不是kp*error的問題，因爲error非常小了。我們可以看到，由於積分維持在0.8左右，因此每次改變的量對於趨緊穩定後的數值來說，其變化量是很大的，因此其稍微改變一點，就會導致其誤差變大。
同時可以看到在初期，對於使用積分控制算法來說，其超過了我們的目標值（超調量），最大達到了1.2m，如果我們的桶只有1.1m高，那麼可能就會導致我們的水往外溢出來，這是我們不想看到的情況。如果在實際過程中，可能就因爲溫度過高或者電壓過高，發生不可逆的後果。
而且我們可以看到u=kp*error-0.1+ki∗積分。當error趨緊爲0時，那麼每次添加的u爲0。那麼ki∗積分≈0.1。因此積分趨進於1。
通過百度百科我們可以知道：
1．比例環節 即時成比例的反映控制系統的偏差信號，偏差一旦產生，控制器立即產生控制作用，以減少偏差。通常隨着值的加大，閉環系統的超調量加大，系統響應速度加快，但是當增加到一定程度，系統會變得不穩定。
2．積分環節 主要用於消除靜差，提高系統的無差度（型別）。 [1] 積分作用的強弱取決於積分常數，積分常數越大，積分作用越弱，反之越強。閉環系統的超調量越小，系統的響應速度變慢。
微分控制算法
引進了積分項之後，我們的控制模型雖然解決了穩態誤差，但是還是有問題。這個問題就是實際值在不斷的波動。同時它還有一個超調量的東西。這是我們不希望看到的，那麼我們該如何去解決這個問題呢？這裏就需要引進微分的概念了。其理解可以想象成在往桶裏加水時，我們可能能夠預感到其會超過我們想要的數值，然後在加水之前，把一部分水給倒掉，從而達到降低其超調量的作用。微分在這裏可以用相鄰的error的差值進行表示，因此微分可以表示爲：kd*（error（t）-error（t-1）），在這裏我們的u=kp*error-0.1+ ki∗積分+kd*（error（t）-error（t-1））。值得注意的是，由於誤差是越來越小的，因此其微分的值一般爲負值。
| 目標 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 實際（=上一次實際+kp*當前的error-0.1+ki*積分+kd*微分） | 0.5 | 0.45 | 0.71 | 0.993 | 1.1444 | 1.15302 | 1.084916 | 1.011683 | 0.971846 | 0.968102 | 0.983857 | 1.001148 | 1.010293 | 1.010578 | 1.006119 |
| error（上一次的目標-上一次的實際） | 0.5 | 0.55 | 0.29 | 0.007 | -0.1444 | -0.15302 | -0.08492 | -0.01168 | 0.028154 | 0.031898 | 0.016143 | -0.00115 | -0.01029 | -0.01058 | |
| kp | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 |
| ki | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 |
| kd | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 |
| 積分（=上一次的積分+本次的誤差） | 0 | 0.5 | 1.05 | 1.34 | 1.347 | 1.2026 | 1.04958 | 0.964664 | 0.952981 | 0.981135 | 1.013033 | 1.029176 | 1.028029 | 1.017735 | 1.007157 |
| 微分（=本次的誤差-上次的誤差） | 0.05 | -0.26 | -0.283 | -0.1514 | -0.00862 | 0.068104 | 0.073233 | 0.039837 | 0.003744 | -0.01575 | -0.01729 | -0.00915 | -0.00029 |
其最大值爲1.15，超調量得到了減小。至此，PID的每個過程的功能能夠簡單的理解到了。