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PID控制器（四軸學習要用！所以……）

by admin|Published 四月 13, 2017

先引一下維基百科！

PID控制器（比例-積分-微分控制器），由比例單元(P)、積分單元(I)和微分單元(D)組成[1]。透過Kp，Ki和Kd三個參數的設定。PID控制器主要適用於基本上線性，且動態特性不隨時間變化的系統。

PID控制器的方塊圖

PID控制器是一個在工業控制應用中常見的反饋迴路部件。這個控制器把收集到的數據和一個參考值進行比較，然後把這個差別用於計算新的輸入值，這個新的輸入值的目的是可以讓系統的數據達到或者保持在參考值。PID控制器可以根據歷史數據和差別的出現率來調整輸入值，使系統更加準確而穩定。

PID控制器的比例單元(P)、積分單元(I)和微分單元(D)分別對應目前誤差、過去累計誤差及未來誤差。若是不知道受控系統的特性，一般認爲PID控制器是最適用的控制器[2]。藉由調整PID控制器的三個參數，可以調整控制系統，設法滿足設計需求。控制器的響應可以用控制器對誤差的反應快慢、控制器過沖的程度及系統震盪的程度來表示。不過使用PID控制器不一定保證可達到系統的最佳控制，也不保證系統穩定性。

有些應用只需要PID控制器的部分單元，可以將不需要單元的參數設爲零即可。因此PID控制器可以變成PI控制器、PD控制器、P控制器或I控制器。其中又以PI控制器比較常用，因爲D控制器對回授噪聲十分敏感，而若沒有I控制器的話，系統不會回到參考值，會存在一個誤差量。

反饋迴路基礎[編輯]

PID迴路是要自動實現一個操作人員用量具和控制旋鈕進行的工作，這個操作人員會用量具測系統輸出的結果，然後用控制旋鈕來調整這個系統的輸入，直到系統的輸出在量具上顯示穩定的需求的結果，在舊的控制文檔裏，這個過程叫做“復位”行爲，量具被稱爲“測量”，需要的結果被稱爲“設定值”而設定值和測量之間的差別被稱爲“誤差”。

一個控制迴路包括三個部分：

系統的傳感器得到的測量結果
控制器作出決定
通過一個輸出設備來作出反應

控制器從傳感器得到測量結果，然後用需求結果減去測量結果來得到誤差。然後用誤差來計算出一個對系統的糾正值來作爲輸入結果，這樣系統就可以從它的輸出結果中消除誤差。

在一個PID迴路中，這個糾正值有三種算法，消除目前的誤差，平均過去的誤差，和透過誤差的改變來預測將來的誤差。

比如說，假如利用水箱在爲植物提供水，水箱的水需要保持在一定的高度。可以用傳感器來檢查水箱裏水的高度，這樣就得到了測量結果。控制器會有一個固定的用戶輸入值來表示水箱需要的水面高度，假設這個值是保持65％的水量。控制器的輸出設備會連在由馬達控制的水閥門上。打開閥門就會給水箱注水，關上閥門就會讓水箱裏的水量下降。這個閥門的控制信號就是控制變量。

PID控制器可以用來控制任何可被測量及可被控制變量。比如，它可以用來控制溫度、壓強、流量、化學成分、速度等等。汽車上的巡航定速功能就是一個例子。

一些控制系統把數個PID控制器串聯起來，或是連成網絡。這樣的話，一個主控制器可能會爲其他控制輸出結果。一個常見的例子是馬達的控制。控制系統會需要馬達有一個受控的速度，最後停在一個確定的位置。可由一個子控制器用來管理速度，但是這個子控制器的速度是由控制馬達位置的主控制器來管理的。

連合和串聯控制在化學過程控制系統中相當常見。

歷史及應用[編輯]

PID控制理論是由觀察舵手的動作而來

PID控制器可以追溯到1890年代的調速器設計[2][3]。PID控制器是在船舶自動操作系統中漸漸發展。1911年Elmer Sperry開發的控制器是最早期PID型控制器的其中之一[4]，而第一個發表PID控制器理論分析論文的是俄裔美國工程師尼古拉斯·米諾爾斯基（Minorsky 1922）。米諾爾斯基當時在設計美國海軍的自動操作系統，他的設計是基於對舵手的觀察，控制船舶不只是依目前的誤差，也考慮過去的誤差以及誤差的變化趨勢[5]，後來米諾爾斯基也用數學的方式加以推導[6]。他的目的是在於穩定性，而不是泛用的控制，因此大幅的簡化了問題。比例控制可以在小的擾動下有穩定性，但無法消除穩態誤差，因此加入了積分項，後來也加入了微分項。

當時在新墨西哥號戰艦上進行測試，利用控制器控制舵的角速度，利用PI控制器可以角度誤差維持在±2°以內，若加上D控制，角度誤差維持在±1/6°，比最好的舵手還要好[7]。

不過因爲海軍人員的抗拒，海軍那時候未使用這套系統，在1930年代也有其他人作出類似的研究。

在自動控制發展的早期，用機械設備來實現PID控制，是由槓桿、彈簧、阻尼及質量組成，多半會用壓縮氣體驅動。氣動控制器還一度是工業上的標準。

電子的類比控制器可以用晶體管、真空管、電容器及電阻器組成。許多複雜的電子系統中常會包括PID控制，例如磁盤的讀寫頭定位、電源供應器的電源條件、甚至是現代地震儀的運動偵測線路。現代電子控制器已大幅的被這些利用單芯片或FPGA來實現的數位控制器所取代。

現代工業使用的PID控制器多半會用PLC或有安裝面板的數位控制器來實現。軟件實現的好處是相對低廉，配合PID實現方式調整的靈敏度很大。在工業鍋爐、塑膠射出機械、燙金機及包裝行業中都會用到PID控制。

變化的電壓輸出可以用PWM來實現，也就是固定週期，依要輸出的量去調整週期中輸出高電勢的時間。對於數位系統，其時間比例有可能是離散的，例如週期是二秒，高電勢時間設定單位爲0.1秒，表示可以分爲20格，精度5%，因此存在一量化誤差，但只要時間分辨率夠高，就會有不錯的效果。

理論[編輯]

PID是以它的三種糾正算法而命名。受控變數是三種算法（比例、積分、微分）相加後的結果，即爲其輸出，其輸入爲誤差值（設定值減去測量值後的結果）或是由誤差值衍生的信號。若定義 $u(t)$ 爲控制輸出，PID算法可以用下式表示：

{\mathrm {u}}(t)={\mathrm {MV}}(t)=K_{p}{e(t)}+K_{{i}}\int _{{0}}^{{t}}{e(\tau )}\,{d\tau }+K_{{d}}{\frac {d}{dt}}e(t)

其中

K_{p}

：比例增益，是調適參數

K_{i}

：積分增益，也是調適參數

K_{d}

：微分增益，也是調適參數

e

：誤差=設定值（SP）- 回授值（PV）

t

：目前時間

\tau

：積分變數，數值從0到目前時間

t

用更專業的話來講，PID控制器可以視爲是頻域系統的濾波器。在計算控制器最終是否會達到穩定結果時，此性質很有用。如果數值挑選不當，控制系統的輸入值會反覆振盪，這導致系統可能永遠無法達到預設值。

PID控制器的一般轉移函數是：

H(s)={\frac {K_{d}s^{2}+K_{p}s+K_{i}}{s+C}}

其中C是一個取決於系統帶寬的常數。

比例控件[編輯]

主條目：比例控制

不同比例增益Kp下，受控變數對時間的變化（Ki和Kd維持定值）

比例控制考慮當前誤差，誤差值和一個正值的常數Kp（表示比例）相乘。Kp只是在控制器的輸出和系統的誤差成比例的時候成立。比如說，一個電熱器的控制器的比例尺範圍是10°C，它的預定值是20°C。那麼它在10°C的時候會輸出100%，在15°C的時候會輸出50%，在19°C的時候輸出10％，注意在誤差是0的時候，控制器的輸出也是0。

比例控制的輸出如下：

P_{{{\mathrm {out}}}}=K_{p}\,{e(t)}

若比例增益大，在相同誤差量下，會有較大的輸出，但若比例增益太大，會使系統不穩定。相反的，若比例增益小，若在相同誤差量下，其輸出較小，因此控制器會較不敏感的。若比例增益太小，當有干擾出現時，其控制信號可能不夠大，無法修正干擾的影響。

穩態誤差[編輯]

比例控制在誤差爲0時，其輸出也會爲0。若要讓受控輸出爲非零的數值，就需要有一個穩態誤差或偏移量[a]。穩態誤差和比例增益的成反比。若加入一偏置，或是加入積分控制，可以消除穩態誤差。

積分控件[編輯]

不同積分增益Ki下，受控變數對時間的變化（Kp和Kd維持定值）

積分控制考慮過去誤差，將誤差值過去一段時間和（誤差和）乘以一個正值的常數Ki。Ki從過去的平均誤差值來找到系統的輸出結果和預定值的平均誤差。一個簡單的比例系統會震盪，會在預定值的附近來回變化，因爲系統無法消除多餘的糾正。通過加上負的平均誤差值，平均系統誤差值就會漸漸減少。所以，最終這個PID迴路系統會在設定值穩定下來。

積分控制〔的輸出如下：

I_{{{\mathrm {out}}}}=K_{{i}}\int _{{0}}^{{t}}{e(\tau )}\,{d\tau }

積分控制會加速系統趨近設定值的過程，並且消除純比例控制器會出現的穩態誤差。積分增益越大，趨近設定值的速度越快，不過因爲積分控制會累計過去所有的誤差，可能會使回授值出現過沖的情形。

微分控件[編輯]

不同微分增益Kd下，受控變數對時間的變化（Kp和Ki維持定值）

微分控制考慮將來誤差，計算誤差的一階導，並和一個正值的常數Kd相乘。這個導數的控制會對系統的改變作出反應。導數的結果越大，那麼控制系統就對輸出結果作出更快速的反應。這個Kd參數也是PID被稱爲可預測的控制器的原因。Kd參數對減少控制器短期的改變很有幫助。一些實際中的速度緩慢的系統可以不需要Kd參數。

微分控制的輸出如下：

D_{{{\mathrm {out}}}}=K_{d}{\frac {d}{dt}}e(t)

微分控制可以提升整定時間及系統穩定性[8][9]。不過因爲純微分器不是因果系統，因此在PID系統實現時，一般會爲微分控制加上一個低通濾波器以限制高頻增益及噪聲[10]。實務上較少用到微分控制，估計PID控制器中只有約20%有用到微分控制[10]。

參數調試[編輯]

PID的參數調試是指透過調整控制參數（比例增益、積分增益/時間、微分增益/時間）讓系統達到最佳的控制效果。穩定性（不會有發散性的震盪）是首要條件，此外，不同系統有不同的行爲，不同的應用其需求也不同，而且這些需求還可能會互相沖突。

PID只有三個參數，在原理上容易說明，但PID參數調試是一個困難的工作，因爲要符合一些特別的判據，而且PID控制有其限制存在。歷史上有許多不同的PID參數調試方式，包括齊格勒－尼科爾斯方法等，其中也有一些已申請專利。

PID控制器的設計及調試在概念上很直覺，但若有多個（且互相沖突）的目標（例如高穩定性及快速的暫態時間）都要達到的話，在實際上很難完成。PID控制器的參數若仔細的調試，會有很好的效果，相反的，若調適不當，效果會很差。一般初始設計常需要不斷的電腦模擬，並且修改參數，一直達到理想的性能或是可接受的妥協爲止。

有些系統有非線性的特性，若在無載下調試的參數可能無法在滿載下動作，可以利用增益規劃的方式進行修正（在不同的條件下選用不同的數值）。

穩定性[編輯]

若PID控制器的參數未挑選妥當，其控制器輸出可能是不穩定的，也就是其輸出發散，過程中可能有震盪，也可能沒有震盪，且其輸出只受飽和或是機械損壞等原因所限制。不穩定一般是因爲過大增益造成，特別是針對延遲時間很長的系統。

一般而言，PID控制器會要求響應的穩定，不論程序條件及設定值如何組合，都不能出現大幅振盪的情形，不過有時可以接受臨界穩定的情形[來源請求]。

最佳性能[編輯]

PID控制器的最佳性能可能和針對過程變化或是設定值變化有關，也會隨應用而不同。

兩個基本的需求是調整能力（regulation，干擾拒絕，使系統維持在設定值）及命令追隨（設定值變化下，控制器輸出追隨設定值的反應速度）。有關命令追隨的一些判據包括有上升時間及整定時間。有些應用可能因爲安全考量，不允許輸出超過設定值，也有些應用要求在到達設定值過程中的能量可以最小化。

各方法的簡介[編輯]

有許多種調試PID控制器參數的方法，最有效的方式多半是建立某種程序，再依不同參數下的動態特性來調試參數。相對而言人工調試其效率較差，若是系統的響應時間到數分鐘以上，更可以看出人工調試效率的不佳[來源請求]。

調試方法的選擇和是否可以暫時將控制迴路“離線”有關，也和系統的響應時間有關。離線是指一個和實際使用有些不同的條件（例如不加負載），而且控制器的輸出只需考慮適適，不需考慮實際應用。在線調試是在實際應用的條件，控制器的輸出需考慮實際的系統。若控制迴路可以離線，最好的調試方法是對系統給一個步階輸入，量測其輸出對時間的關係，再用其響應來決定參數[來源請求]。

選擇調試方式
方法	優點	缺點
人工調試	不需要數學，可以在線調試	需要有經驗的工程師[來源請求]
齊格勒－尼科爾斯方法	被證實有效的方法，可以在線調試	會影響製程，需要試誤，得到的參數可能使響應太快[來源請求]
軟件工具	調適的一致性，可以在線調試或離線調試，可以配合計算機自動設計，包括閥及感測器的分析，可以在下載前進行模擬，可以支援非穩態（NSS）的調試	需要成本或是訓練[11]
COHEN–COON	好的程序模型	需要一些數學，需離線調試，只對一階系統有良好效果[來源請求]

人工調整[編輯]

若需在系統仍有負載的情形進行調試（線上調試），有一種作法是先將 $K_{i}$ 及 $K_{d}$ 設爲零，增加 $K_{p}$ 一直到迴路輸出震盪爲止，之後再將 $K_{p}$ 設定爲“1/4振幅衰減”（使系統第二次過沖量是第一次的1/4）增益的一半，然後增加 $K_{i}$ 直到一定時間後的穩態誤差可被修正爲止。不過若 $K_{i}$ 可能會造成不穩定，最後若有需要，可以增加 $K_{d}$ ，並確認在負載變動後迴路可以夠快的回到其設定值，不過若 $K_{d}$ 太大會造成響應太快及過沖。一般而言快速反應的PID應該會有輕微的過沖，只是有些系統不允許過沖。因此需要將回授系統調整爲過阻尼系統，而 $K_{p}$ 比造成震盪 $K_{p}$ 的一半還要小很多。

調整PID參數對其步階響應的影響

調整PID參數對系統的影響如下

調整方式	(ON) 上升時間	超調量	安定時間	穩態誤差	穩定性[10]
↑ Kp	減少 ↓	增加 ↑	小幅增加	減少 ↓	變差 ↓
↑ Ki	小幅減少	增加↑	增加 ↑	大幅減少↓↓	變差↓
↑ Kd	小幅減少	減少↓	減少↓	變動不大→	變好 ↑

齊格勒－尼科爾斯方法[編輯]

更多資料：齊格勒－尼科爾斯方法

齊格勒－尼科爾斯方法是另一種啓發式的調試方式，由John G. Ziegler和Nathaniel B. Nichols在1940年代導入，一開始也是將 $K_{i}$ 及 $K_{d}$ 設定爲零，增加比例增益直到系統開始振盪爲止，當時的增益稱爲 $K_{u}$ ，而振盪週期爲 $P_{u}$ ，即可用以下的方式計算增益：

齊格勒－尼科爾斯方法
控制器種類	$K_{p}$	$K_{i}$	$K_{d}$
P	$0.50{K_{u}}$	–	–
PI	$0.45{K_{u}}$	$1.2{K_{p}}/P_{u}$	–
PID	$0.60{K_{u}}$	$2{K_{p}}/P_{u}$	${K_{p}}{P_{u}}/8$

PID調試軟件[編輯]

大部分現代的工業設備不再用上述人工計算的方式調試，而是用PID調試及最佳化軟件來達到一致的效果。軟件會收集資料，建立模型，並提供最佳的調試結果，有些軟件甚至可以用參考命令的變化來進行調試。

數學的PID調試會將脈衝加入系統，再用受控系統的頻率響應來設計PID的參數。若是響應時間要數分鐘的系統，建議用數學PID調試，因爲用試誤法可能要花上幾天才能找到可讓系統穩定的參數。最佳解不太容易找到，有些數位的迴路控制器有自我調試的程序，利用微小的參考命令來計算最佳的調試值。

也有其他調試的公式，是依不同的性能判據所產生。許多有專利的公式已嵌入在PID調試軟件及硬件模組中[12]。

一些先進的PID調試軟件也可以有算法可以在動態的情形下調整PID迴路，這類軟件會先將程序建模，給攝動量，再根據響應計算參數。

PID控制的限制[編輯]

PID控制可以應用在許多控制問題，多半在大略調整參數後就有不錯的效果，不過有些應用下可能反而會有差的效果，而且一般無法提供最佳控制。PID控制的主要問題是在於其爲回授控制，係數爲定值，不知道受控系統的信息，因此其整理性能常常是妥協下的結果。在沒有受控系統模型的條件下，PID控制最佳的控制器[2]，但若配合系統模型，可以有進一步的提升。

當PID控制器單獨使用時，若因應用需求，需調整PID迴路增益使控制系統不會過沖，其效果有可能很差。PID控制器的缺點還包括無法處理受控系統的非線性、需在反應時間及調整率之間妥協、無法針對參數的變動而反應（例如系統在暖機後特性會改變）、以及大擾動下的波形落後。

PID控制器最顯著的提升是配合前饋控制，加入有關係統的信息，只用PID控制器來控制誤差。另外，PID控制器也有一些小幅的改善方式，例如調整參數（增益規劃或是依性能進行適應性的調整）、提升性能（提高取樣率、精度及準度，若有需要加入低波濾波器），或是用多個串接的PID控制器。

線性[編輯]

PID控制器常見的問題是在於其線性且對稱的特性，若應用在一些非線性的系統，其效果可能會有變化。以暖通空調中常見的溫度控制，可能是採用主動加熱（用加熱器加熱），但冷卻是使用被動冷卻（不加熱，自然冷卻），其冷卻速度比加熱速度慢很多，輸出若有過沖，下降速度很慢，因此PID控制需調整爲不會過沖的過阻尼，以減少或避免過沖，但這也延長了整定時間，使性能變差。

噪聲對微分器的影響[編輯]

微分器的問題在於對量測或程序產生的高頻噪聲會有放大效果，因此會對輸出造成大幅的變動。因此真實的控制器不會有理想的微分器，只有一個有限帶寬的微分器或高通濾波器。一般爲了移除高頻的噪聲，會在量測時加入低通濾波器，若低通濾波器和微分器對消，濾波效果也就受限了，因此低噪聲的量測設備相當重要。實務上可以使用中值濾波器，調昇濾波效率及實際上的性能[13]。有時可以將微分器關閉，對控制性能的影響不大，此時稱爲PI控制器。

PID算法的修改[編輯]

基本的PID算法在一些控制應用的條件下有些不足，需進行小幅的修改。

積分飽和[編輯]

積分飽和是理想PID算法實現時常見的問題。若設定值有大的變動，其積分量會有大幅的變化，大到輸出值被上下限限制而飽和，因此係統會有過沖，而且即使誤差量符號改變，積分量變小，但輸出值仍被上下限限制，維持在上限（或下限），因此輸出看似沒有變化，系統仍會持續的過沖，一直要到輸出值落在上下限的範圍內，系統的回授量纔會開始下降。此問題可以用以下方式處理：

在程序變數離開可控制範圍時，暫停積分。
讓積分值限制在一個較小的上下範圍內。
重新計算積分項，使控制器輸出維持上下限之間的範圍內[14]。

PI控制器[編輯]

PI控制器的方塊圖

PI控制器（比例-積分控制器）是不用微分單元的PID控制器。

控制器的輸出爲

K_{P}\Delta +K_{I}\int \Delta \,dt

其中 $\Delta$ 爲設定值SP和量測值PV的誤差：

\Delta =SP-PV

PI控制器可以用Simulink或Xcos之類的軟件進行建模，方式是使用“flow chart”圖框，其中用以下的拉氏運算子：

C={\frac {G(1+\tau s)}{\tau s}}

其中

G=K_{P}

= 比例增益

G/\tau =K_{I}

= 積分增益

$G$ 值的選擇需在減少過沖以及增加安定時間之間取捨。

微分單元對輸入中的高頻信號格外敏感，PI控制器因爲沒有微分單元，在訊號噪聲大時，在穩態時會更加穩定。但對狀態快速變化的反應較慢，因此相較於調適到最佳值的PID控制器，PI控制器會較慢到達設定值，受干擾後也比較慢恢復到正常值。

PDF控制（pseudo-derivative feedback control）可以視爲是PI控制器的變體，比例控制器的輸入由誤差值改爲回授值[15]。

不動作區[編輯]

許多PID迴路是控制機械元件（例如閥）。機械保養是一筆可觀的費用，磨損會使得機械在有輸入信號時出現靜摩擦或是不動作區，都會導致控制性能的下降。機械損耗的速度主要和設備多常改變其狀態有關。若磨損是主要考量的話，PID迴路可以有輸出的不動作區以減少輸出狀態的改變。若變化小，仍在不動作區內，讓控制器的輸出維持上一次的值。變化要大到超過不動作區，實際的狀態纔會隨之變化。

設定值的步階變化[編輯]

若系統的設定值有步階變化，比例單元和微分單元也會有對應的變化，特別是微分單元對於步階變化的輸出特別的大，因此有些PID算法會配合以下的修改來處理設定值的變化。

設定值斜坡變化: 此修改方式下，設定值會用線性或是一階濾波的方式，由原始值變到新的值，避免因爲步階變化產生的不連續。

只對程序變數（回授量）微分: 此修改下，PID控制器只針對量測的程序變數（PV）微分，不對誤差微分。程序變數是實際的物理量，較不易有瞬間的變化，而誤差可能因爲設定值的步階變化而有瞬間變化。這也是一種簡單的設定值加權法。

設定值加權: 設定值加權分別調整在比例單元及微分單元中的誤差量，誤差量的設定值乘以一個0到1之間的加權，積分單元的誤差量需使用真實的設定值，以避免穩態誤差。這兩個參數不影響對負載變化及量測噪聲的響應，可以提升對設定點變化的響應。

前饋控制[編輯]

PID控制器若再配合前饋控制（開回路控制），可以再提升其控制性能。在前饋控制中考慮系統的已知信息（例如理想加速度或是慣量），再將輸出加到PID控制器的控制輸出，以提升整體的系統性能。前饋量可能是控制輸出主要的部分，而PID控制器只用來補償目標值和開回路控制器輸出之間的誤差。因爲前饋輸出不會受到回授的影響，因此也不會造成系統的振盪，可以在不影響穩定性的條件下提升系統的響應。前饋可以依目標值及其他量測到的干擾量來產生，目標值加權是一種簡單的前饋控制方式。

例如，在大部分的運動控制系統中，爲了要使機械負載加速，致動器要產生更大的力。若用速度環的PID控制器來控制負載速度，比較理想的方式是先得到理想的瞬間加速度值，適量調整加權後再加到PID的輸出中。因此控制器輸出中有一部分是不隨機械速度而改變的輸出，再用PID根據實際輸出和目標的差異去增加或是減少輸出。這類有前饋控制的PID控制器可以加快控制系統的反應速度。

無衝擊運轉[編輯]

有時PID控制器會規劃爲無衝擊（bumpless）的特性，在參數變化時重新計算適當的積分累計值，使輸出不會因參數變化有不連續的改變[16]。

串級PID控制器[編輯]

二個PID控制器可以組合在一起，得到較佳的效果，這稱爲串級PID控制。以兩個PID控制器組成的串級PID控制爲例，其中一個PID控制器在外迴路，控制像液麪高度或是速度等主要的物理量，另一個PID控制器是內迴路，以外迴路PID控制器的輸出做爲其目標值，一般是控制較快速變化的參數，例如流量或加速度等。若利用串級PID控制，可以增加控制器的工作頻率，並降低其時間常數。

例如一個溫控的循環水浴設備有二個串級的PID控制器，分別有各自的熱電偶溫度感測器。外迴路的控制器控制水溫，其感測器距加熱器很遠，直接量測整體水溫，其誤差量是理想水溫及整體水溫的差值。外迴路PID控制器的輸出即爲內迴路控制器的目標值，內迴路控制器控制加熱器，其感測器是在加熱器上，其誤差量是加熱器的理想溫度及量測到溫度的差值，其輸出會使加熱器維持在設定值附近。

內外迴路控制器的參數可能會差很多，外迴路的PID控制器有較長的時間常數，對應所有的水加熱或是冷卻需要的時間。內迴路的PID控制器反應會比較快。每個控制器可以調整到符合其真正控制的系統，例如水槽中所有的水，或是加熱器本身。

其他PID的形式及其表示法[編輯]

理想的PID及標準形PID[編輯]

工業上常看到PID控制器，而許多工業相關資料中看到的都是“標準形”的PID，其中比例增益 $K_{p}$ 也作用在 $I_{{{\mathrm {out}}}}$ 及 $D_{{{\mathrm {out}}}}$ 兩項，和上述“理論”段落看到的形式不同。“標準形”的PID爲：

{\mathrm {MV(t)}}=K_{p}\left(\,{e(t)}+{\frac {1}{T_{i}}}\int _{{0}}^{{t}}{e(\tau )}\,{d\tau }+T_{d}{\frac {d}{dt}}e(t)\right)

其中

T_i

爲積分時間

T_{d}

爲微分時間

在標準形中，每一個參數有其明確的物理意義，輸出是根據現在誤差、過去誤差及未來誤差而決定，加上微分項可以預測若控制系統不改變的話， $T_{d}$ 時間後的誤差，而積分項是用過去所有誤差的和來調整輸出，希望在 $T_i$ 時間後可以完全消除誤差，而輸出的值會再乘以單一的增益 $K_{p}$ 。

在理想的平行式PID中，其方程如下：

{\mathrm {MV(t)}}=K_{p}{e(t)}+K_{i}\int _{{0}}^{{t}}{e(\tau )}\,{d\tau }+K_{d}{\frac {d}{dt}}e(t)

其中的增益和標準形PID係數的關係是： $K_{i}={\frac {K_{p}}{T_{i}}}$ 及 $K_{d}=K_{p}T_{d}\,$ 。平行式PID中的參數都視爲單純的增益，最泛用，靈活性也最高，但較沒有物理意義，因此只用在PID的理論處理中，標準形PID雖在數學上比較複雜，在工業中較常使用。

倒數增益[編輯]

許多情形下，PID控制器處理的變數是無量綱的量，是某個最大值的比例，介於0到100%之間，而轉換爲實際物理量（如泵浦速率或是水加熱的功率）是在PID控制器外，而這些控制變數是有量綱的物理量（例如溫度）。此時 $K_{p}$ 增益多半不會表示爲“每變化一度的輸出”，而會以溫度的形式 $1/K_{p}$ 表示，代表“100%輸出下的溫度（變化）”，代表輸出由0變到1（0%變爲100%）下的溫度變化。

只針對過程變數進行微分控制[編輯]

在大部分的商業控制系統中，是用過程變數取代誤差作爲微分項的輸入，其原因是當目標值有不連續變化時，微分控制會產生很大的突波，若目標值不變，改變過程變數的效果和改變誤差相同，因此有些PID控制器會用過程變數作爲微分項的輸入，不會影響控制器控制過程變數，抗噪聲的能力。

{\mathrm {MV(t)}}=K_{p}\left(\,{e(t)}+{\frac {1}{T_{i}}}\int _{{0}}^{{t}}{e(\tau )}\,{d\tau }-T_{d}{\frac {d}{dt}}PV(t)\right)

只針對過程變數進行微分及比例控制[編輯]

大部分的商業控制系統也提供選擇，讓過程變數作爲微分控制及比例控制的輸入，因此誤差只作爲積分控制的輸入，這也不會影響控制器控制過程變數，抗噪聲的能力。

上述的修改可以避免目標值有不連續變化時，輸出值有對應不連續的變化，若目標值有步階變化，這項調整就相當重要。

{\mathrm {MV(t)}}=K_{p}\left(\,{-PV(t)}+{\frac {1}{T_{i}}}\int _{{0}}^{{t}}{e(\tau )}\,{d\tau }-T_{d}{\frac {d}{dt}}PV(t)\right)

也有些雙自由度（2-DoF）PID控制架構除了一般的PID控制外，再加上只針對過程變數進行的微分及比例控制，再分別用增益進行調整，目標是同時對目標步階響應以及噪聲抑制都有良好的性能[17]。

PID控制器的拉氏轉換[編輯]

有關會將PID控制器進行拉氏轉換：

G(s)=K_{p}+{\frac {K_{i}}{s}}+K_{d}{s}={\frac {K_{d}{s^{2}}+K_{p}{s}+K_{i}}{s}}

PID控制器的拉氏轉換也代表着控制器的傳遞函數，因此可以確認整體系統的傳遞函數。

PID的極零點對消[編輯]

PID控制器可以寫成以下的形式

G(s)=K_{d}{\frac {s^{2}+{\frac {K_{p}}{K_{d}}}s+{\frac {K_{i}}{K_{d}}}}{s}}

若受控設備的傳遞函數如下：

H(s)={\frac {1}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}

又令

{\frac {K_{i}}{K_{d}}}=\omega _{0}^{2}

{\frac {K_{p}}{K_{d}}}=2\zeta \omega _{0}

則

G(s)H(s)={\frac {K_{d}}{s}}

因此若受控設備有不穩定的極點，看似可以用此方式消除，不過實際上有些差異，由干擾到輸出的閉迴路傳遞函數中仍有不穩定的極點，因此仍可能會發散。

串級型或交互型[編輯]

另一種PID控制器的表示法爲串級型（series）或稱爲交互型（interacting）

G(s)=K_{c}{\frac {(\tau _{i}{s}+1)}{\tau _{i}{s}}}(\tau _{d}{s}+1)

其中參數和標準型的參數有以下的關係

K_{p}=K_{c}\cdot \alpha

T_{i}=\tau _{i}\cdot \alpha

T_{d}={\frac {\tau _{d}}{\alpha }}

而

\alpha =1+{\frac {\tau _{d}}{\tau _{i}}}

上述作法可表示爲二個串級的PD控制器及PI控制器，在早期類比電路的時代較容易實現，雖然控制器已經數字化，不過仍有些維持此形式。

離散化的控制器[編輯]

若要在微處理機（MCU）或是FPGA中實現PID控制或是分析其性能，就需要將控制器離散化[18]。一階微分可以用後向有限差分表示，積分項也離散化，若取樣時間爲 $\Delta t$ ，積分項可以用下式近似

\int _{{0}}^{{t_{k}}}{e(\tau )}\,{d\tau }=\sum _{{i=1}}^{k}e(t_{i})\Delta t

微分項可近似爲

{\dfrac {de(t_{k})}{dt}}={\dfrac {e(t_{k})-e(t_{{k-1}})}{\Delta t}}

因此PID控制器的離散化可以將 $u(t)$ 微分，再用一階導數及二階導數的定義求得 $u(t_{k})$ ，可以徥到

u(t_{k})=u(t_{{k-1}})+K_{p}\left[\left(1+{\dfrac {\Delta t}{T_{i}}}+{\dfrac {T_{d}}{\Delta t}}\right)e(t_{k})+\left(-1-{\dfrac {2T_{d}}{\Delta t}}\right)e(t_{{k-1}})+{\dfrac {T_{d}}{\Delta t}}e(t_{{k-2}})\right]

其中 $T_{i}=K_{p}/K_{i},T_{d}=K_{d}/K_{p}$

僞代碼[編輯]

以下是一段實現PID算法的僞代碼：[19]

previous_error = 0
integral = 0 
start:
  error = setpoint - measured_value
  integral = integral + error*dt
  derivative = (error - previous_error)/dt
  output = Kp*error + Ki*integral + Kd*derivative
  previous_error = error
  wait(dt)
  goto start

此例中有兩個變數在循環前需初始化爲0，然後開始循環。目前的誤差（error）是用目前目標值（setpoint）減去系統反饋值（measured_value）而得，然後再進行積分和微分運算，比例項、積分項及微分項乘以各自參數後得到輸出（output）。在實際系統中，這會透過數位類比轉換器轉換爲類比訊號，作爲受控系統的控制量。目前的誤差量及積分會儲存，以便下次計算微分及積分時使用，程式會等待dt秒後開始，循環繼續進行，透過類比數位轉換器讀取新的系統反饋值及目標值，再計算誤差量及輸出[19]。

（來點簡單易懂的！）
啥是PID？ PID可以吃嗎？
PID，就是“比例（proportional）、積分（integral）、微分（derivative）”，是一種很常見的控制算法。算法是不可以吃的。
到LZ發帖的這一天，PID已經有105年的歷史了

它並不是什麼很神聖的東西，大家一定都見過PID的實際應用

——比如四軸飛行器，再比如平衡小車……還有汽車的定速巡航、3D打印機上的溫度控制器….
再比如動物園裏的海獅，將一根杆子直立着頂在頭上（OOPS，這個也算..）

就是類似於這種：需要將某一個物理量“保持穩定”的場合（比如維持平衡，穩定溫度、轉速等），PID都會派上大用場。

那麼問題來了：
比如，我想控制一個“熱得快”，讓一鍋水的溫度保持在50℃
這麼簡單的任務，爲啥要用到微積分的理論呢你一定在想：
這不是so easy嘛~ 小於50度就讓它加熱，大於50度就斷電，不就行了？幾行代碼用Arduino分分鐘寫出來

沒錯~在要求不高的情況下，確實可以這麼幹~ But！如果LZ換一種說法，你就知道問題出在哪裏了：

如果我的控制對象是一輛汽車呢？
要是希望汽車的車速保持在50km/h不動，你還敢這樣幹麼

設想一下，假如汽車的定速巡航電腦在某一時間測到車速是45km/h。它立刻命令發動機：加速！
結果，發動機那邊突然來了個100%全油門，嗡的一下，汽車急加速到了60km/h。這時電腦又發出命令：剎車！
結果，吱……………哇…………(乘客吐)

所以，在大多數場合中，用“開關量”來控制一個物理量，就顯得比較簡單粗暴了。有時候，是無法保持穩定的。因爲單片機、傳感器不是無限快的，採集、控制需要時間。
而且，控制對象具有慣性。比如你將一個加熱器拔掉，它的“餘熱”（即熱慣性）可能還會使水溫繼續升高一小會。

這時，就需要一種『算法』：

它可以將需要控制的物理量帶到目標附近
它可以“預見”這個量的變化趨勢
它也可以消除因爲散熱、阻力等因素造成的靜態誤差
….

於是，當時的數學家們發明了這一歷久不衰的算法——這就是PID。

你應該已經知道了，P，I，D是三種不同的調節作用，既可以單獨使用（P，I，D），也可以兩個兩個用（PI，PD），也可以三個一起用（PID）。
這三種作用有什麼區別呢？客官別急，聽我慢慢道來

我們先只說PID控制器的三個最基本的參數：kP,kI,kD。

kP
P就是比例的意思。它的作用最明顯，原理也最簡單。我們先說這個：

需要控制的量，比如水溫，有它現在的『當前值』，也有我們期望的『目標值』。

當兩者差距不大時，就讓加熱器“輕輕地”加熱一下。
要是因爲某些原因，溫度降低了很多，就讓加熱器“稍稍用力”加熱一下。
要是當前溫度比目標溫度低得多，就讓加熱器“開足馬力”加熱，儘快讓水溫到達目標附近。

這就是P的作用，跟開關控制方法相比，是不是“溫文爾雅”了很多

實際寫程序時，就讓偏差（目標減去當前）與調節裝置的“調節力度”，建立一個一次函數的關係，就可以實現最基本的“比例”控制了~
kP越大，調節作用越激進，kP調小會讓調節作用更保守。

要是你正在製作一個平衡車，有了P的作用，你會發現，平衡車在平衡角度附近來回“狂抖”，比較難穩住。
如果已經到了這一步——恭喜你！離成功只差一小步了~

kD
D的作用更好理解一些，所以先說說D，最後說I。

剛纔我們有了P的作用。你不難發現，只有P好像不能讓平衡車站起來，水溫也控制得晃晃悠悠，好像整個系統不是特別穩定，總是在“抖動”。

你心裏設想一個彈簧：現在在平衡位置上。拉它一下，然後鬆手。這時它會震盪起來。因爲阻力很小，它可能會震盪很長時間，纔會重新停在平衡位置。
請想象一下：要是把上圖所示的系統浸沒在水裏，同樣拉它一下：這種情況下，重新停在平衡位置的時間就短得多。

我們需要一個控制作用，讓被控制的物理量的“變化速度”趨於0，即類似於“阻尼”的作用。

因爲，當比較接近目標時，P的控制作用就比較小了。越接近目標，P的作用越溫柔。有很多內在的或者外部的因素，使控制量發生小範圍的擺動。D的作用就是讓物理量的速度趨於0，
只要什麼時候，這個量具有了速度，D就向相反的方向用力，盡力剎住這個變化。

kD參數越大，向速度相反方向剎車的力道就越強。

如果是平衡小車，加上P和D兩種控制作用，如果參數調節合適，它應該可以站起來了~歡呼吧

等等，PID三兄弟好想還有一位。看起來PD就可以讓物理量保持穩定，那還要I幹嘛？
因爲我們忽視了一種重要的情況：

kI
還是以熱水爲例。假如有個人把我們的加熱裝置帶到了非常冷的地方，開始燒水了。需要燒到50℃。

在P的作用下，水溫慢慢升高。直到升高到45℃時，他發現了一個不好的事情：天氣太冷，水散熱的速度，和P控制的加熱的速度相等了。
這可怎麼辦？

P兄這樣想：我和目標已經很近了，只需要輕輕加熱就可以了。
D兄這樣想：加熱和散熱相等，溫度沒有波動，我好像不用調整什麼。

於是，水溫永遠地停留在45℃，永遠到不了50℃。

作爲一個人，根據常識，我們知道，應該進一步增加加熱的功率。可是增加多少該如何計算呢？
前輩科學家們想到的方法是真的巧妙。

設置一個積分量。只要偏差存在，就不斷地對偏差進行積分（累加），並反應在調節力度上。

這樣一來，即使45℃和50℃相差不太大，但是隨着時間的推移，只要沒達到目標溫度，這個積分量就不斷增加。系統就會慢慢意識到：還沒有到達目標溫度，該增加功率啦！
到了目標溫度後，假設溫度沒有波動，積分值就不會再變動。這時，加熱功率仍然等於散熱功率。但是，溫度是穩穩的50℃。
kI的值越大，積分時乘的係數就越大，積分效果越明顯。

所以，I的作用就是，減小靜態情況下的誤差，讓受控物理量儘可能接近目標值。

I在使用時還有個問題：需要設定積分限制。防止在剛開始加熱時，就把積分量積得太大，難以控制。

這篇就寫到這裏。要想直觀地體驗PID的控制作用，需要一個具體的東西來調試。
LZ以後完成倒立擺項目後，會用一些視頻來演示PID參數的整定方法。

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