PID控制算法推算

傳統數字PID控制算法

模擬PID調節器：
u(t)=Kp[e(t)+1Ti∫t0e(t)dt+Tdde(t)dt] (1)
假設控制週期爲T，在控制器的採樣時刻t=KT時，對積分和微分做如下近似：

⎧⎩⎨∫t0e(t)dt≈T∑kj=0e(jT)=T∑kj=0e(j)(2)de(t)dt≈e(kT)−e[(k−1)T]T=e(k)−e(k−1)T(3)

將（2）（3）式代入（1）式中可得：
u(t)=Kp[e(k)+TTi∑kj=0e(j)+TdT[e(k)−e(k−1)]]
即位置式PID調節器的數字表達式爲：
u(t)=Kpe(k)+Ki∑kj=0e(j)+Kd[e(k)−e(k−1)] (4)
其中：Ki=KpTTi ; Kd=KpTdT
令k=k-1，則得：
u(t−1)=Kpe(k−1)+Ki∑k−1j=0e(j)+Kd[e(k−1)−e(k−2)] (5)
式（4）（5）相減得：

Δu(k)=u(k)−u(k−1)=Kp[e(k)−e(k−1)]+Ki[∑j=0ke(t)−∑j=0k−1e(t−1)]+Kd[e(k)−e(k−1)−e(k−1)+e(k−2)]=Kp[e(k)−e(k−1)]+Kie(k)+Kd[e(k)−2e(k−1)+e(k−2)]

上式即爲增量式PID調節器的表達式

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數字PID控制的改進

積分改進算法有：積分分離PID控制、遇限削弱積分PID、不完全微分PID、微分先行PID控制。

1. 積分項的改進

積分分離PID算法
使用積分分離PID調節器的原因：
在過程啓動、停車或者大幅度改變設定值時，執行機構進入飽和狀態，結果產生系統輸出的較大超調，甚至引起系統長時間振盪。
積分分離PID算法的基本思路：
在偏差e(k)J較大時，暫時取消積分作用；當偏差e(t)小於某個閾值時，纔將積分作用引入。具體實現如下：

• 根據過程生產實際需要，設定一個閾值ε>0 .
• 當|e(t)|>ε ，也即偏差值|e(t)| 較大時，採用PD控制，可避免大的超調，又是系統有較快的響應。
• 當|e(t)|≤ε ，也即是偏差值|e(t)| 較小時，採用PID控制或者PI控制，可保證系統的控制精度。
  位置式PID算式（4）的積分分離形式：
  u(t)=Kpe(k)+βKi∑kj=0e(j)+Kd[e(k)−e(k−1)]
  式中：
  β=
  
  ⎧⎩⎨10|e(t)|≤ε|e(t)|>ε
  
  當|e(t)|>ε ；β=0 ,實施PD控制。
  PD控制算法爲：
  u(t)=Kpe(k)+Kd[e(k)−e(k−1)]
  或者 u(t)=u(t−1)+Kp[e(k)−e(k−1)]+Kd[e(k)−2e(k−1)+e(k−2)]
  當|e(t)|≤ε ；β=1 ,實施PID控制,控制器表達式如（4）式
  爲了保證引入積分控制作用後系統的穩定性不變，在投入積分控制作用的同時，相應地減少比例增益Kp 的值，另外，閾值的設置應根據控制所要求的性能來確定。

2 . 微分項的改進：

• 不完全微分PID控制算法：
  微分控制的特點歸納如下：
  1）：若e(t)爲脈衝函數時，控制權僅在第一個週期有效。
  2）：Ud(k) 的幅值一般較大(T<<Td )，容易造成以單片機爲控制核心的數據溢出。
  3）：Ud(k) 過大、過快的變化會對執行機構造成衝擊，另外由於控制週期短，容易造成控制輸出量的失真。
  克服上述的缺點的方法：
  一種方法是在輸出PID輸入後加入一個一階慣性環節（低通濾波器）；該低通濾波器的傳遞函數爲Gf(s)=1Tfs+1
  則可導出不完全微分PID控制算式爲：
  u′(t)=Kp[e(t)+1Ti∫t0e(t)dt+Tdde(t)dt] (6)
  Tfdu(t)dt+u(t)=u′(t) (7)
  將（6）式離散化得：
  u′(t)=Kp[e(k)+TTi∑kj=0e(j)+TdT[e(k)−e(k−1)]]
  將（7）式離散化得：
  u(t)=TTf+Tu′(t)+TfTf+Tu(t−1)
  令a=TfTf+T 可得不完全微分的位置式控制算式：
  u(t)=(1−a)u′(t)+au(t−1)
  式中：
  
  ⎧⎩⎨a=TfTf+Tu′(t)=Kp[e(k)+TTi∑kj=0e(j)+TdT[e(k)−e(k−1)]]
  
  增量式控制算法的表達式爲：
  Δu(t)=(1−a)Δu′(t)+aΔu(t−1)
  式中：
  
  ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪a=TfTf+TΔu′(t)=Kp[e(k)−e(k−1)]+Kie(k)+Kd[e(k)−2e(k−1)+e(k−2)]
  
  另一種方法是將低通濾波器(1Tfs+1 )加在微分控制環節上，形成帶慣性環節的微分控制，即
  Ud(s)=KpTdsE(s)Tfs+1
  其對應的微分方程爲：
  Tfdud(t)dt+ud(t)=KpTdde(t)dt
  對上式離散化後得：
  Ud(k)=KpTdT[e(k)−e(k−1)]−TfT[Ud(k)−Ud(k−1)]
  整理得：
  Ud(k)=TfT+Tfe(k−1)−KpTdT+Tf[Ud(k)−Ud(k−1)]
  令a=TfT+Tf 則可得：
  Ud(k)=ae(k−1)−Kd(1−a)[Ud(k)−Ud(k−1)]
  則該不完全微分控制器的位置式PID表達式爲：
  u(t)=Kpe(k)+Ki∑kj=0e(j)+aUd(k−1)+Kd(1−a)[e(k)−e(k−1)]
  式中a=TfT+Tf
  增量式PID控制器的表達式爲：
  Δu(t)=Kp[e(k)−e(k−1)]+Kie(k)+a[Ud(k−1)−Ud(k−2)]+Kd(1−a)[e(k)−2e(k−1)+e(k−1)]

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PID控制參數的工程整定方法
數字PID控制參數的整定過程是，先用模擬PID控制參數整定的方法來選擇，然後考慮採樣週期對整定參數的影響，再做適當的調整。模擬PID控制參數的整定方法有：擴充臨界比例法、擴充響應曲線法、歸一參數整定法、湊試法確定PID參數。
其中歸一參數整定法的整定過程如下：
假設有增量式PID的表達式爲：
Δu(k)=Kp[e(k)−e(k−1)+TTie(k)+TdT[e(k)−2e(k−1)+e(k−2)]] （8）
在PID控制中，要整定四個參數T、Ti 、Td ，爲了減少在線整定參數的數目，根據大量的實驗經驗的總結，設定了一些約束條件，以減少獨立變量的個數，繼而減少機器運算量。
例如取值：
T≈0.1Tr、Ti≈0.5Tr、Td≈0.125Tr （9）
其中Tr 爲純比例控制時臨界振盪時的振盪週期。
將（9）式代入（8）得：
Δu(k)=Kp[2.45e(k)−3.5e(k−1)+1.25e(k−2)]