自適應控制基本思想

自適應控制

1. 自適應控制所討論的對象，一般是指對象的結構已知，僅僅是參數未知，而且採用的控制方法仍是基於數學模型的方法
2. 但實踐中我們還會遇到結構和參數都未知的對象，比如一些運行機理特別複雜，目前尚未被人們充分理解的對象，不可能建立有效的數學模型，因而無法沿用基於數學模型的方法解決其控制問題，這時需要藉助人工智能學科，也就是智能控制
3. 自適應控制與常規的控制與最優控制一樣，是一種基於數學模型的控制方法
4. 自適應控制所依據的關於模型的和擾動的先驗知識比較少，需要在系統的運行過程中不斷提取有關模型的信息，使模型愈來愈準確
5. 常規的反饋控制具有一定的魯棒性，但是由於控制器參數是固定的，當不確定性很大時，系統的性能會大幅下降，甚至失穩

設計思路

問題的提出

對於一個非線性系統

x˙=−ax2+u$\dot{x}=-a{x}^2+u$
a$a$ 是未知參數，u$u$ 是控制輸入

要求設計一個合理的控制信號u$u$ ，使得系統狀態x(t)$x(t)$ 跟蹤上期望信號xd(t)$x_d(t)$ ，假設xd(t)$x_d(t)$ 是解析並有界的，且其微分x˙d(t)${\dot{x}}_d(t)$ 也是連續且有界的，這個假設在實際中可以滿足，因爲跟蹤信號往往是認爲設計的

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解決思路

對於現代控制理論，正如前面所述，設計控制信號實際上是設計誤差動力學系統，因此，設誤差信號e(t)=x(t)−xd(t)$e(t)=x(t)-x_d(t)$ ，則誤差的動力學系統方程爲

e˙(t)=−ax2(t)+u−x˙d(t)$\dot{e}(t)=-a{x}^2(t)+u-{\dot{x}}_d(t)$ ———– (1)

由於原系統是滿足matching條件的，即控制信號和未知參數處於一個方程中，那麼根據等價確定性原則(certainty equivalence, CE）設計控制器

u=a^x2+x˙d−Ke$u=\hat{a}{x}^2+{\dot{x}}_d-Ke$ ———– (2)
a^$\hat{a}$ 是參數a$a$ 的估計值
K>0$K>0$ 是控制器參數

接下來需要設計估計參數a^$\hat{a}$ 的更新律，這裏採用結合Lyapunov穩定性進行設計
假設a~=a^−a$\tilde{a}=\hat{a}-a$ ，將控制u$u$ 代入(1)，則(1)可以寫成

e˙(t)=a~x2(t)−Ke(t)$\dot{e}(t)=\tilde{a}{x}^2(t)-Ke(t)$ ———– (3)

定義Lyapunov函數

V(e,a~)=12e2+12ηa~2$V\left(e,\tilde{a}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^2+{\displaystyle \frac{1}{2\eta }}{\tilde{a}}^2$ ———– (4)

求導，得

V˙(e,a~)=ee˙+1ηa~⋅a~˙=ee˙+1ηa~⋅a^˙$\dot{V}\left(e,\tilde{a}\right)=e\dot{e}+{\displaystyle \frac{1}{\eta }}\tilde{a}\cdot \dot{\tilde{a}}=e\dot{e}+{\displaystyle \frac{1}{\eta }}\tilde{a}\cdot \dot{\hat{a}}$
           =e(a~x2−Ke)+1ηa~⋅a^˙=−Ke2+a~(ex2+1ηa^˙)$=e\left(\tilde{a}{x}^2-Ke\right)+{\displaystyle \frac{1}{\eta }}\tilde{a}\cdot \dot{\hat{a}}=-K{e}^2+\tilde{a}\left(e{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{\eta }}\dot{\hat{a}}\right)$

爲了達到系統的穩定，則要使得V˙≤0$\dot{V}\le 0$ ，因此，設計a^$\hat{a}$ 的更新律爲

a^˙=−η⋅e⋅x2$\dot{\hat{a}}=-\eta \cdot e\cdot x^2$ ———– (5)

代入，得到

V˙(e,a~)≤0$\dot{V}\left(e,\tilde{a}\right)\le 0$ ———– (6)

由(4),(6)的positive definite特性可以確定(4)是一個合理的Lyapunov函數，由(6)可知(4)有界，即e$e$ 和a~$\tilde{a}$ 也有界，且e$e$ 平方可積。根據期望信號xd$x_d$ 的假設，以及參數誤差和跟蹤誤差的定義可知，x$x$ 與a^$\hat{a}$ 也是有界的，因此由(2)得到的控制u$u$ 也是有界的，且由(1)得到e˙(t)$\dot{e}(t)$ 也有界。
由Barbalat’s Lemma可得e˙(t)$\dot{e}(t)$ uniformly continuous且

limt→∞e(t)=0$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}e(t)=0$

由此可以得到系統漸進穩定，但是我們此時只是得到了系統的跟蹤誤差漸進收斂到0，但是參數的估計誤差並沒有收斂到0，因爲我們設計參數的更新律時，是從系統的角度來設計的。

綜合，整體思路爲，先求出對期望信號xd(t)$x_d(t)$ 跟蹤誤差的誤差動態方程；根據等價確定性原則(certainty equivalence, CE）設計控制器u(t)$u(t)$ ，包含耦合抵消項和線性負反饋項兩項組成，其中的未知參數用其參數估計值代替；然後設計Lyapunov函數，求導得出參數估計更新律；最後在保證Lyapunov函數導數非正的情況下，根據Barbalat引理得出跟蹤誤差漸近收斂得結論

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存在的問題

參數估計的更新律中，並沒有包含參數估計誤差的負反饋，而是與跟蹤誤差直接耦合在一起a^˙=−η⋅e⋅x2$\dot{\hat{a}}=-\eta \cdot e\cdot x^2$ ，結果導致跟蹤誤差影響參數估計的過程，而參數估計在控制器中直接影響跟蹤誤差，兩者的直接耦合造成了系統閉環性能的下降

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改進

解決辦法就是浸入與不變(Immersion and Invariance, I&I)理論。通過引入關於狀態的修正項，從而間接將未知參數引入到參數估計動態當中

我們需要人爲設計估計誤差的動態特性，此時u$u$ 是已知量，對於這個問題不同於控制系統的設計在於，我們並不知道z$z$ 的具體值，因爲我們隊最終參數θ$\theta$ 是未知的，所以我們只能利用已經存在的動態結構，最大可能的構造利於證明收斂的自適應律，也就是θ^˙$\dot{\hat{\theta }}$ ，相當於控制系統設計中的u$u$
對於，z˙=−∂β∂x⋅x2⋅z$\dot{z}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\beta }{\mathrm{\partial }x}}\cdot x^2\cdot z$ ，我們需要構造Lyapunov函數，設計β(x)$\beta (x)$ ，從而證明了參數收斂的穩定性。

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總結

兩種設計方法只不過是將自適應律的設計問題的轉化了而已，原先的自適應律的設計是直接根據整個系統的Lyapunov進行設計，改進的方法是建立參數的動態模型，並根據此係統的Lyapunov進行設計