泰勒展開式

泰勒展開式

一元函數Taylor展開

f(x)=f(x0)+f,(x0)(x−x0)+f,,(x)2(x−x0)2+...+fn(x)n(x−x0)n+R

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二元函數Taylar展開

f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+(h∂∂x+k∂∂y)f(x0,y0)+12!(h∂∂x+k∂∂y)2f(x0,y0)+...+1n!(h∂∂x+k∂∂y)n+R

其中

(h∂∂x+k∂∂y) 表示 hfx(x0,y0)+kfy(x0,y0)

(h∂∂x+k∂∂y)2 表示 h2fxx(x0,y0)+k2fyy(x0,y0)+2hkfxy(x0,y0)

n元函數Taylor展開

設X=(x1,x2,…,xn) ，X0=(x01,x02,…,x0n) ，ΔX=(Δx1,Δx2,…,Δxn)
n元函數f(X) 關於變量的m+1 導數在X0 處連續，則

f(X)=f(X0)+1m!(∑i=1n(Δxi∂∂xi))mf(X0)+Rm

其中

Rm=1(m+1)!(∑i=1n(Δxi∂∂xi))m+1f(X0+θΔX),θ∈(0,1)