自适应控制基本思想

自适应控制

1. 自适应控制所讨论的对象，一般是指对象的结构已知，仅仅是参数未知，而且采用的控制方法仍是基于数学模型的方法
2. 但实践中我们还会遇到结构和参数都未知的对象，比如一些运行机理特别复杂，目前尚未被人们充分理解的对象，不可能建立有效的数学模型，因而无法沿用基于数学模型的方法解决其控制问题，这时需要借助人工智能学科，也就是智能控制
3. 自适应控制与常规的控制与最优控制一样，是一种基于数学模型的控制方法
4. 自适应控制所依据的关于模型的和扰动的先验知识比较少，需要在系统的运行过程中不断提取有关模型的信息，使模型愈来愈准确
5. 常规的反馈控制具有一定的鲁棒性，但是由于控制器参数是固定的，当不确定性很大时，系统的性能会大幅下降，甚至失稳

设计思路

问题的提出

对于一个非线性系统

x˙=−ax2+u$\dot{x}=-a{x}^2+u$
a$a$ 是未知参数，u$u$ 是控制输入

要求设计一个合理的控制信号u$u$ ，使得系统状态x(t)$x(t)$ 跟踪上期望信号xd(t)$x_d(t)$ ，假设xd(t)$x_d(t)$ 是解析并有界的，且其微分x˙d(t)${\dot{x}}_d(t)$ 也是连续且有界的，这个假设在实际中可以满足，因为跟踪信号往往是认为设计的

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解决思路

对于现代控制理论，正如前面所述，设计控制信号实际上是设计误差动力学系统，因此，设误差信号e(t)=x(t)−xd(t)$e(t)=x(t)-x_d(t)$ ，则误差的动力学系统方程为

e˙(t)=−ax2(t)+u−x˙d(t)$\dot{e}(t)=-a{x}^2(t)+u-{\dot{x}}_d(t)$ ———– (1)

由于原系统是满足matching条件的，即控制信号和未知参数处于一个方程中，那么根据等价确定性原则(certainty equivalence, CE）设计控制器

u=a^x2+x˙d−Ke$u=\hat{a}{x}^2+{\dot{x}}_d-Ke$ ———– (2)
a^$\hat{a}$ 是参数a$a$ 的估计值
K>0$K>0$ 是控制器参数

接下来需要设计估计参数a^$\hat{a}$ 的更新律，这里采用结合Lyapunov稳定性进行设计
假设a~=a^−a$\tilde{a}=\hat{a}-a$ ，将控制u$u$ 代入(1)，则(1)可以写成

e˙(t)=a~x2(t)−Ke(t)$\dot{e}(t)=\tilde{a}{x}^2(t)-Ke(t)$ ———– (3)

定义Lyapunov函数

V(e,a~)=12e2+12ηa~2$V\left(e,\tilde{a}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^2+{\displaystyle \frac{1}{2\eta }}{\tilde{a}}^2$ ———– (4)

求导，得

V˙(e,a~)=ee˙+1ηa~⋅a~˙=ee˙+1ηa~⋅a^˙$\dot{V}\left(e,\tilde{a}\right)=e\dot{e}+{\displaystyle \frac{1}{\eta }}\tilde{a}\cdot \dot{\tilde{a}}=e\dot{e}+{\displaystyle \frac{1}{\eta }}\tilde{a}\cdot \dot{\hat{a}}$
           =e(a~x2−Ke)+1ηa~⋅a^˙=−Ke2+a~(ex2+1ηa^˙)$=e\left(\tilde{a}{x}^2-Ke\right)+{\displaystyle \frac{1}{\eta }}\tilde{a}\cdot \dot{\hat{a}}=-K{e}^2+\tilde{a}\left(e{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{\eta }}\dot{\hat{a}}\right)$

为了达到系统的稳定，则要使得V˙≤0$\dot{V}\le 0$ ，因此，设计a^$\hat{a}$ 的更新律为

a^˙=−η⋅e⋅x2$\dot{\hat{a}}=-\eta \cdot e\cdot x^2$ ———– (5)

代入，得到

V˙(e,a~)≤0$\dot{V}\left(e,\tilde{a}\right)\le 0$ ———– (6)

由(4),(6)的positive definite特性可以确定(4)是一个合理的Lyapunov函数，由(6)可知(4)有界，即e$e$ 和a~$\tilde{a}$ 也有界，且e$e$ 平方可积。根据期望信号xd$x_d$ 的假设，以及参数误差和跟踪误差的定义可知，x$x$ 与a^$\hat{a}$ 也是有界的，因此由(2)得到的控制u$u$ 也是有界的，且由(1)得到e˙(t)$\dot{e}(t)$ 也有界。
由Barbalat’s Lemma可得e˙(t)$\dot{e}(t)$ uniformly continuous且

limt→∞e(t)=0$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}e(t)=0$

由此可以得到系统渐进稳定，但是我们此时只是得到了系统的跟踪误差渐进收敛到0，但是参数的估计误差并没有收敛到0，因为我们设计参数的更新律时，是从系统的角度来设计的。

综合，整体思路为，先求出对期望信号xd(t)$x_d(t)$ 跟踪误差的误差动态方程；根据等价确定性原则(certainty equivalence, CE）设计控制器u(t)$u(t)$ ，包含耦合抵消项和线性负反馈项两项组成，其中的未知参数用其参数估计值代替；然后设计Lyapunov函数，求导得出参数估计更新律；最后在保证Lyapunov函数导数非正的情况下，根据Barbalat引理得出跟踪误差渐近收敛得结论

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存在的问题

参数估计的更新律中，并没有包含参数估计误差的负反馈，而是与跟踪误差直接耦合在一起a^˙=−η⋅e⋅x2$\dot{\hat{a}}=-\eta \cdot e\cdot x^2$ ，结果导致跟踪误差影响参数估计的过程，而参数估计在控制器中直接影响跟踪误差，两者的直接耦合造成了系统闭环性能的下降

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改进

解决办法就是浸入与不变(Immersion and Invariance, I&I)理论。通过引入关于状态的修正项，从而间接将未知参数引入到参数估计动态当中

我们需要人为设计估计误差的动态特性，此时u$u$ 是已知量，对于这个问题不同于控制系统的设计在于，我们并不知道z$z$ 的具体值，因为我们队最终参数θ$\theta$ 是未知的，所以我们只能利用已经存在的动态结构，最大可能的构造利于证明收敛的自适应律，也就是θ^˙$\dot{\hat{\theta }}$ ，相当于控制系统设计中的u$u$
对于，z˙=−∂β∂x⋅x2⋅z$\dot{z}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\beta }{\mathrm{\partial }x}}\cdot x^2\cdot z$ ，我们需要构造Lyapunov函数，设计β(x)$\beta (x)$ ，从而证明了参数收敛的稳定性。

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总结

两种设计方法只不过是将自适应律的设计问题的转化了而已，原先的自适应律的设计是直接根据整个系统的Lyapunov进行设计，改进的方法是建立参数的动态模型，并根据此系统的Lyapunov进行设计