高級Lyapunov穩定性

高級Lyapunov穩定性

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基本概念

函數及其導數的漸進性質

1. f(t)˙→0 ⇏f(t) 收斂
   幾何上，導數趨近於零意味着切線越來越平，但是並不意味着函數收斂。比如f(t)=sin(Ln(t)) ，f(t)=t√sin(Ln(t))
2. f(t) 收斂⇏f(t)˙→0 ，比如f(t)=e−tsin2(e2t)

說明

可微函數一致連續的充分條件是其導數有界

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Barbalat引理

如果可微函數 f(t) (一階連續可導)，當t→∞ 時存在有界極限，且f(t)˙ 一致連續，則t→∞ 時f(t)˙→0

推論1

如果可微函數 f(t) (一階連續可導)，當t→∞ 時存在有界極限，且f(t) 的二階導數存在且有界，則t→∞ 時f(t)˙→0

推論2

如果函數 f(t) 一致連續，並且limt→∞∫t0f(x)dx 存在且有界，那麼 limt→∞f(t)=0

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Barbalat引理擴展

Barbalat引理不易與Lyapunov理論相結合，故在實際應用中具有一定的侷限性，爲了對Barbalat基本形式進行延展和變形，得到如下幾種Barbalat引理的表達式

LP={f | f:[0,∞]→R,(∫∞0|f(t)|pdt)1p<∞},p∈[1,∞]

引理1

若函數 f(t) 一致連續，且存在 p∈[1,∞] ，使得 f(t)∈LP ，則 dlimt→∞f(t)=0

以下形式的Barbalat引理因易與Lyapunov理論建立直接的聯繫，故在自適應控制和參數估計等領域得到了廣泛的應用
引理2

設 f(t) 平方可積，即 limt→∞∫t0|f(t)|2dt<∞ ，則如果 f(t)˙ 存在且有界，那麼 limt→∞f(t)=0

適應性更廣泛的引理
引理3

如果 f(t)∈LP，p∈[1,∞] ，且f(t)˙ 存在且有界，那麼 limt→∞f(t)=0

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Barbalat引理在分析穩定性中的應用

Lyapunov穩定性定理雖然在實際系統穩定性分析和理論研究中得到了廣泛的應用，但是應用該定理分析系統的漸進穩定性時，導數爲負定的Lyapunov函數時有時難以找到，儘管LaSalle不變集原理可以處理Lyapunov函數的導數爲半負定的情況，但是隻適用於自治系統
Barbalat引理彌補了Lyapunov穩定性定理和Lasalle不變集原理的不足，在分析非自治系統穩定性方面起到了十分關鍵的作用

引理

如果連續可導的二元函數 V:Rn×[0,∞)→R 有下界，V˙(x,t) 半負定，且 V˙(x,t) 關於時間 t 是一致連續的，那麼 limt→∞V˙(x,t)=0

類Lyapunov引理

如果存在標量函數，滿足
1. V(x,t) 有下界
2. V˙(x,t) 半負定
3. V˙(x,t) 對時間一致連續

則當 t→0 ，V˙(x,t)→0

補充說明

函數有極限，則函數比有界，但是函數有界並不代表函數有極限。有極限說明函數最終會趨於一定定值，有界表示函數不會趨於無窮大，但不一定會趨於一個定值，可以在某些位置上來回波動

例子

考慮如下系統

{x˙1=−x1+x2w(t)x˙2=−x1w(t)

w(t) 爲有界函數

選取Lyapunov函數 V=x21+x22 ，則

V˙=2x1[−x1+x2w(t)]+2x2[−x1w(t)]=−2x21≤0

1. 由於 V˙ ≤0 ，因此 supt≥0V(t)≤V(0) ，且 V≥0 ，因此 V=x21+x22 有界，從而推得 x1,x2 爲有界的
2. V¨=−4x1(−x1+x2w) 中 w(t),x1,x2 均爲有界的，因此 V¨ 爲有界的，所以 V˙ 一致連續，因此 V˙(x,t)→0
3. 由於V˙=−2x21 ，所以推得 x1→0

雖然推得 x1 最終收斂於0，但是整個系統不是漸進穩定的，因爲上述推導，只能推得 x2 爲有界的，並不能保證 x2 的收斂性