六、向量的夾角公式及R3中平面的一般形式

1. 公式

中兩個向量的夾角公式：

且規定，當  (向量共線)時:

當(向量垂直)時，

2. 推導過程

向量夾角公式由余弦定理：

推導出

下面爲具體的推導：

等號左邊又可以展開爲：

將展開後的結果代入餘弦定理公式：

因此：

推導完畢。

3. 垂直和正交的區別

假如

則  和  正交

如果  和  正交，且  和  都不等於  ，則  和  垂直

總結：所有垂直的向量都正交，正交的向量不一定垂直， 與任何向量（包括 ）正交

4. R3中平面的一般形式

法向量：垂直於平面的向量稱爲該平面的法向量(normal vector)

假設平面上的一個定點爲，平面上的任何其它點爲，平面的法向量爲：

向量  位於平面上，且與法向量  垂直，因此：

R3中平面的一般形式即：

總結：法向量和平面上的一個定點，可以定義該平面