1. 階梯型矩陣
若矩陣A滿足兩條件：（1）若有元素全爲0的行，則該行應在最下邊（2）非0行的第一個非0元素的列標號隨行號的增加而增加，那麼矩陣A爲階梯型矩陣，例如：
2. 行簡化階梯型矩陣
若矩陣A滿足兩條件：（1）矩陣A爲階梯型矩陣（2）非0首元(非0行的首個非0元素)所在的列，除了非0首元外，其它元素全爲0，那麼矩陣A爲行簡化階梯型矩陣，例如：
3. 行最簡化階梯型矩陣(reduced row echelon form)
若矩陣A滿足兩條件：（1）矩陣A爲行簡化階梯型矩陣（2）非0首元都爲1，那麼矩陣A爲行最簡化階梯型矩陣，例如：
非0首元爲1時，又稱主元(pivot entry)，和主元相結合的變量稱爲主變量，其餘變量爲自由變量
4. 階梯型矩陣實際用途
在矩陣的實際用途一文中已經說明了矩陣的實際用途，但是如果未知數個數多於方程個數，那麼方程組可能有無數解，例如，在四維空間中，方程組的解爲一個平面，或者在三維空間中，方程組的解爲一根直線，平面或直線都是無數個解。下面舉一個例子，假設有一個方程組：
其中，未知數的個數爲4，方程的個數爲3，初步判斷，該方程組有無數解，我們使用矩陣法求解該線性方程組，步驟如下：
1. 從線性方程組創建係數矩陣
2. 增廣係數矩陣
![\mathbf{A} = \left [ \left.\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 2 & -1\\ 2 & 4 & 0 & 6 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 7\\ 12\\ 4 \end{matrix} \right ]](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cmathbf%7BA%7D%20%3D%20%5Cleft%20%5B%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D%201%20%26%202%20%26%201%20%26%201%5C%5C%201%20%26%202%20%26%202%20%26%20-1%5C%5C%202%20%26%204%20%26%200%20%26%206%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%207%5C%5C%2012%5C%5C%204%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%5D)
此時，矩陣A就是線性方程組的另一種寫法
3. 使用高斯消去法將增廣矩陣轉化爲行最簡化階梯型矩陣
![\mathbf{A} \Rightarrow \left [ \left.\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 2\\ 0 & 0 & 2 & -4 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 7\\ -5\\ 10 \end{matrix} \right ]](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cmathbf%7BA%7D%20%5CRightarrow%20%5Cleft%20%5B%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D%201%20%26%202%20%26%201%20%26%201%5C%5C%200%20%26%200%20%26%20-1%20%26%202%5C%5C%200%20%26%200%20%26%202%20%26%20-4%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%207%5C%5C%20-5%5C%5C%2010%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%5D)
![\Rightarrow \left [ \left.\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 7\\ -5\\ 0 \end{matrix} \right ]](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/https://private.codecogs.com/gif.latex?%5CRightarrow%20%5Cleft%20%5B%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D%201%20%26%202%20%26%201%20%26%201%5C%5C%200%20%26%200%20%26%20-1%20%26%202%5C%5C%200%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%207%5C%5C%20-5%5C%5C%200%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%5D)
![rref(\mathbf{A}) = \left [ \left.\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2\\ 5\\ 0 \end{matrix} \right ]](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/https://private.codecogs.com/gif.latex?rref%28%5Cmathbf%7BA%7D%29%20%3D%20%5Cleft%20%5B%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D%201%20%26%202%20%26%200%20%26%203%5C%5C%200%20%26%200%20%26%201%20%26%20-2%5C%5C%200%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%202%5C%5C%205%5C%5C%200%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%5D)
4. 用行最簡化階梯型矩陣重寫線性方程組
其中，
5. 用自由變量來表示主變量
自由變量可以取任何值，通過自由變量求出主變量
6. 擴展線性方程組
7. 用向量形式表示擴展後的線性方程組
從向量形式可以看出，後兩個向量的線性組合將擴展成一個平面，因此方程組的解爲一個平面