线性代数04 行列式的性质：举一反三，从三个到十个

对于行列式的性质，一共十个，都可以从三个基础的性质推出来。因此此篇博文将详细的从三个基础性质说起。

---

性质1

Det I=1

说明：这个很好理解，只要知道单位矩的结构。就知道单位阵的对角线上全是1，因此行列式也是1.

---

性质2

对于行列式来说，变换行的位置，行列式需要变换符号：
例如：

---

性质3a

矩阵的某一行可提取公因子到行列式外。这一点一定要区别于矩阵的提取公因子。

性质3b（加法性质）

---

性质4

若行列式中存在相等的行，那么行列式等于0

利用性质2，假设a1行和a2行相等，交换这两行，那么会有det A = - det A(change)
但是，事实上 det A= det A（change），所以det A=0.

---

性质5

某一行减去另外一行的K倍，行列式不改变。

证：以二阶行列式为例
又因为性质4，可以得到即使第二行减去了第一行l倍的行列式，仍然等于原来的行列式。

---

性质6

若有一行为0，则行列式为0.
很好理解，可以把0提取出来。

---

性质7

行列式的值，等于其化简成上三角行列式的对角线的乘积。
这一点不太好用公式说明，但是我还是用一个简单的图例来说明，主要的思想是：
step1：运用初等变换（性质5）来将上三角行列式变成只含有对角线的是的行列式
step2：运用性质3a，可以将对角线上的公因子提取出来，这样一来，就变成了对角线上的常数项与单位阵的相乘。

---

性质8

（1）若det A =0，那么矩阵A是奇异的（singular）
（2）若det A≠0，那么矩阵啊是非奇异的，即可逆的
这一条性质的证明，可以参考上一篇博文对于行列式等于0和不等于0的计算。先说完性质9，我们可以再证明一下性质8.

---

性质9

$det（A*B）=det A *det B$

结合性质8，对于这个式子有
$det(A^{-1}*A)=det A^{-1} * det A=det I=1=>detA^{-1}=1\div(det A)$
若det A=0，那么上述的式子没有意义，因此，也不可能计算det A=0的矩阵A的逆。即逆不存在

---

性质10

$det A^{T}=det A$
证明：
对于A和A的转置来说，均可以对其进行LU分解，因此也有
$det A^{T}=det(LU)^{T}=det(U^{T}L^{T})\\det A=det (LU)=detL*detU\\ \ \\∵det L=detL^{T}且detU=detU^{T}\\∴det A^{T}=det A$
关键在于：
（1）上三角矩阵U中，不论转置与否，对角线的元素都不会改变。
（2）对於单位下三角矩阵L来说，不管转置与否，对角线的元素也不会改变

概念

矩阵的LU分解
行列式