上一篇文章介绍了关于矩阵的秩与线性方程组的解之间的关系。现在我们可以探究另一个非常重要的概念（行列式）与线性方程组的解的情况之间的关系。
1 行列式
首先，我们需要了解什么是行列式。
行列式，是一个相对于矩阵的概念，并且必须是方阵才有行列式的概念。重要的话说三遍：方阵才有行列式的概念，方阵才有行列式的概念，方阵才有行列式的概念。
我们可以认为行列式是一个值，通过对n阶方阵进行行列式的运算，可以得到一个值，我们记矩阵A的行列式为|A|,有的地方也记作det A，这是因为行列式的英文是“determinant”,行列式的计算方法是将矩阵进行LU分解，将矩阵化成上三角矩阵的形式，这样对角线上的积就是|A|，这里有些不严谨，实际上应该是对于行列式进行变换，得到三角行列式，然后对角线的乘积就是行列式的值，中间计算还会涉及到一些符号的细节，由于本篇博文重点不在于行列式的计算，就此省略。
现在我们就来看看行列式是如何告诉我们线性方程组的解的情况，并且为什么这样。
2 齐次线性方程组
简而言之就是常数项全为0的方程组。
我们必须要明确一点，齐次线性方程组是指的那些满足常数项全为0的线性方程组，而并没有规定必须是n个方程，n个未知数，但我们在讨论系数矩阵的行列式与齐次线性方程组的关系的时候，由于行列式的概念只存在于方阵中，因此我们只在这篇博文中讨论n个方程，n个未知数的线性方程组。
3 行列式的值与齐次线性方程组的关系
对于n个方程，n个未知数的齐次线性方程组Ax=0，我们可以提取出它的系数矩阵A，计算系数矩阵A的行列式det A，通过det A的值来判断齐次线性方程组的解的情况。
首先，我们需要明确一点：对于齐次线性方程组，只存在两种解的情况，要么只有唯一解（x=0），要么有非零解（无穷多解）。
为什么没有无解的情况，因为对于Ax=0来说，至少存在一个解，就是x全取0的解的情况。
那么行列式的值，又如何来确定这两种情况呢？
（1）我们先思考一下行列式的值的计算过程，看一下实例：
（2）观察以上实例，再结合之前提到过的高斯-诺尔当算法，以及矩阵的秩与解的情况的关系。是不是觉得行列式的变化过程与矩阵化为行阶梯的过程很像？
事实上，我们不难发现，其实增广矩阵的秩，就是系数矩阵的秩，对于系数矩阵来说，它包含的信息才是包含主元和自由变量的信息主体（可以仔细体会下这句话）。
可以说，我们如果只是想要判断解的情况，就根本不需要考虑常数项。而计算行列式时，若行列式的值det A=0，那么便是系数矩阵变化的过程中，出现了全为0的行，那么对于齐次线性方程组来说，其常数项又都是0，这样一来，det A=0，就对应增广矩阵化为阶梯矩阵后，存在一行全为0。即原方程组有无穷多解。
（3）那么如果det A≠0呢，说明计算行列式det A时，对角线上每一个数字都不为0，即系数矩阵化简到阶梯形式时，系数矩阵的秩R=n。这个时候，方程组有唯一解。因为齐次线性方程组的特殊性，我们可以得到，此唯一解就是0解。
小结：
对于齐次线性方程组Ax=0：
（1） 若det A=0，则方程组有无穷解，也叫非零解。
（2） 若det A≠0，则方程组有0解
4 非齐次线性方程组
常数项不全为零的线性方程组称为非齐次线性方程组。非齐次线性方程组的表达式为：Ax=b。
解析过程与齐次线性方程组的过程类似，但是唯一的区别就是，因为推广到增广矩阵时，常数项不为0了，所以有以下结论：
（1） 若det A=0，则方程组有无穷解/无解。
（2） 若det A≠0，则方程组有一个唯一解。
对无解的情况说明下，行列式det A=0只能说明，在高斯-诺尔当消元中，增广矩阵的左边，即系数矩阵存在一行为0，但是有可能出现这一行的情况是[0 0 0 0 | 1],其中1是原线性方程中的常数项，就出现了0=d（常数）的情况，当然是无解了。
5 总结
本篇博文从n个方程，n个未知数的线性方程组的齐次情况和非齐次情况来讨论了系数矩阵A的行列式det A是如何来反应线性方程组的解的。
下一篇博文，我将详细的说明关于行列式的性质，这些性质在计算行列式的时候非常的重要，有些性质的推导过程非常的精妙。值得我们反复推敲。