在上一篇连载里面,我们证明了为什么:
同时也得到了 方程中描述电场和磁场公式的微分形式:
那么在今天的连载里面,我们重点想看看闭合曲线的线积分应该如何变成微分形式。
我们回顾一下我们对闭合曲面的面积分的微分处理——我们让闭合曲面 S 不断缩小,那么意味着闭合曲面 S 所包围的体积也是不断趋于0. 然后我们再同时除以闭合曲面 S 所包围的体积 ,就得到了通量源密度。
那么对于闭合曲线的线积分也是一样的处理—— 我们让闭合曲线 C 不断缩小,那么意味着闭合曲线 C 所包围的面积也是不断趋于0,然后我们再除以这个闭合曲线所包围的面积 ,那么就可以得到:
上面这个式子我们定义为环量面密度。因为环量面密度是一个标量,所以我们定义:
其中,表示电场 的旋度, 表示这个闭合曲线 C 所包围的面积的单位法向矢量。如下图所示:
不过在电磁感应里面,一般我们遇到的暂时是旋度方向和 一致的。
下面我就直接给出旋度的计算公式(证明也是很类似的就不再赘述):
下面我们就继续开始推导 剩下的两个方程的微分形式:
首先是电生磁的方程:
对于方程的左边,我们构造:
因为除了一个 ,所以式子的右边自然也要除以一个 ,那么自然就剩下被积表达式了。因此,我们得到电生磁的微分形式如下:
下面就剩下磁生电的方程啦:
有了刚刚的基础,我们这里可以直接写出它的微分形式:
至此,我们就成功地推导出了 方程的微分形式,我们来一睹它的全貌:
顺带一提的是,因为我们 方程讲的是时变电磁场,然而时变电磁场的边界方程和静电场、静磁场的是完全一样的。直接板过来就OK了。
好啦!今天的连载就要告一段落啦,留下一个问题:我们现在虽然说是讨论的时变场,但是时变的范围可大了去 了,电磁场随时间怎么变化都行;但是真实情况是:我们需要让电磁场可以携带信息,那么最常见的就是正弦和余弦变化,那么在后续的连载里面,我们将把重心转移到时谐变电磁场的研究。