在上一个连载里面，我们成功得到了 方程组的微分形式。同时我们也知道：在时变场里面，电场和磁场之间相互激发、相互转换，并且将会以波的形式在空间中运动和传播。我们现在其实已经踏入了电磁波的大门了！那么在今天的连载里面，我们就来看看电磁相互转换的过程中能量有什么关系。
我们今天要讨论的是坡印廷定理，别被这高大上的名字吓着了，其实它就只是描述了电磁场里面的能量守恒罢了。
我们想：为什么电磁波可以传输能量呢？这里先给一个直观的印象：因为我们现在描述的是时变场，当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随时间改变，从而引起电磁能量的流动
首先，我们假设现在空间中有一束电磁波：
这束波是沿着图中的黑色箭头方向传播的。我们现在要让这个电磁波射进一个很大的封闭曲面（面积为 S，体积为 V）里面。
那么，我们想啊，在高中我们学习能量守恒的时候，不是经常说：什么什么能量转化为了什么什么能量+热量，诸如此类。那么这里电磁波的入射，能量的变化我们应该怎么描述呢？
那首先还得看入射之后都能产生些什么能量呢？首先最容易想到的就是这个 体积 V 里面将会增加电能和磁能。 这部分能量怎么表示呢？
我们都知道，电场和磁场的能量密度表达式为：
那么很自然，电磁场的能量密度就是：。这是微观的表示，那么如果针对我们刚刚说的体积 V 的球体，那么整个球体内部的电磁场能量就可以表示为：
那么，如何表达体积V里面电磁场能量的变化呢——导数啊！所以，当有电磁波入射进这个球体时，球体内电磁能的变化即为：
那么上面这个式子就可以表示单位时间内体积V里面电磁场增加的储能（因为我们现在讨论的是电磁波入射进曲面S）
到这儿，我们算是把我们刚刚猜测的：电磁能的变化给描述出来了。那么既然有电流了，那么不得产生焦耳热嘛！那么体积V内产生的焦耳热怎么表示呢？
首先我们要明确对于整个体积 V 而言，若其中存在电流时，其因焦耳热会消耗电功率，因此我们是不是就可以用消耗的总电功率来描述焦耳热？
那么，体积V内总的电功率应该如何描述呢？我们先从体积微元的电功率看起，我们知道：
dA 表示电场力对体积微元 中的元电荷所做的功。那么，我们再看看 dA等于啥：
看到 ρ（ρ为体积微元内运动电荷的体密度）和 相乘，是不是回忆起了我们在之前的连载中讲过的：
所以 dA 又可以写成：
所以，微元电功率就可以表示为：
所以体积 V 内消耗的总电功率可以写成：
这一项我们可以理解为是体积 V 内单位时间用于维持传导电流而转化为焦耳热的能量。
至此，我们又把焦耳热给整出来了，下面我们回顾一下我们一开始所说的：
当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随时间改变，从而引起电磁能量的流动
那么，如何描述这种能量的流动呢？我们引入能流密度矢量， 又称为坡印廷矢量，用 来表示。其方向表示能流流动方向； 而大小则等於单位时间内穿过与能量流动方向相垂直的单位面积内的能量
其实，坡印廷矢量从某种意义上说又具有通量的概念，很自然，我们可以这样去描述流出闭合曲面 S 的能量：
那么，到这里我们知道：流入一个闭合曲面S 的总电磁能量，然后这个能量一部分转化为了这个闭合曲面所包围的体积 V 内的电磁能的增量，另一部分转化为了焦耳热
因此，坡印廷定理就是这样表述的：
同时，有了之前矢量微分算子的基础，我们能够很轻易地写出坡印廷定理的微分形式：
不过，大家可能会有疑问了：你说了半天，这 到底怎么表示呢？下面揭晓：
等我们的连载更新到电磁波的时候，你就会知道为什么是叉乘而不是其他什么表示了。
好啦，这就是今天连载的全部内容啦，我们介绍了时变电磁场的能量守恒，可是问题来了：我们现在虽然讨论的是时变场，可以到底随时间怎么变呢？那么在后续的连载里面，我们将会介绍最常见的时变方式——时谐变电磁场，时谐变电磁场产生的电磁波，就可以携带有用的信息了！