四元數與複數之間的關係

今晚看了《有控飛行力學與計算機仿真》，看到Chapter 2-四元數及其在飛行力學中的應用，然後仔細compare四元數與複數，竟然發現這裏面有好多之前沒有意識到的東西。我覺得比較有意思，就記錄下來，作爲我在CSDN上的first article。
複數的表達形式是a+bi ，分爲實部和虛部兩部分。當 b=0 時，複數就退化爲實數。比較有意思的是，複數實質是用二維空間去表示一維空間的數，從這個意義上看，複數所包含的信息超過了實數。以實數2√ 爲例，在複平面上，以（0，0） 爲圓心，以2√ 爲半徑的所有複數均能表示2√ ，但是複數還包含方向信息，如下圖所示。顯然，複數就是矢量化的標量。

現在就來討論四元數，四元數的表達形式是a+bi+ci+di 。當 b=c=d=0 時，四元數就退化爲實數。當b，c，d 中有兩個參數爲0 時，四元數就退化爲複數。顯然，四元數的實質是用四維空間去表示三維空間的數。比較有意思的是，四元數的另一種表達形式是a+theta→ 。首先，這兩種表達形式在數學上是完全等價的；其次，從這個表達形式上看四元數表示爲一個常數加上一個3 維矢量。因此，用四元數來研究三維空間中剛體的姿態變化包含的信息肯定比用歐拉角要好很多，正如由實數擴展得到的複數包含的信息比實數多一樣。