本系列笔记为方便日后自己查阅而写,更多的是个人见解,也算一种学习的复习与总结,望善始善终吧~
矩阵的逆与转置
为什么逆矩阵要反过来?这就像是…你先把鞋子脱了再脱袜子,那么反过来不就是要先穿上袜子,再穿鞋子吗?所以说,忘记书上的蠢例子吧。
一个显而易见的性质,
引出另外一个性质:
如上图
可知
LU分解
其实,消元的目的只是为了正确认识矩阵的概念,而LU分解是最基础的矩阵分解。
还记得我们如何将一个矩阵化为上三角(upper triangular)吗?见下面的例子:
写为
注意到
有时候会写成下面的形式,是
中间的矩阵会是一个对角矩阵(diagonal matrix),所以也叫
那么为什么我们要写成这种形式呢?我们知道
看看
额外知识:让我们试着考察一下
LU 分解的复杂度,对于N∗N 矩阵,首先你需要把第2 N 行乘一个系数减去第一行,这里我们将以此乘法以此减法当做一次操作,那么很明显需要∑1i=N−1i2=13N3
上面的情况都是在pivot不为零的情况下进行的,当pivot等于0时,我们需要交换行来选择新的pivot,用于交换行的矩阵称为permutation matrix(排列矩阵?),我们很容易就可以列举出在3*3的情况下的所有排列矩阵:
排列矩阵
PS:本文图片皆来自公开课视频截图
PS2:LU分解在MATLAB中有现成的函数,找时间介绍其使用。