本系列笔记为方便日后自己查阅而写,更多的是个人见解,也算一种学习的复习与总结,望善始善终吧~
四个基本子空间
到目前为止,我们详细的探讨了column space 和null space,接下来我们将引申到row space与其对应的null space,通常我们称之为**左零空间**left null space,这四个子空间就是本课内容。
基本概念
列空间是由列向量构成的空间,行空间则是由行向量构成的空间
换个角度来看,row space就是原矩阵转置后的column space(行列颠倒了嘛)
同样的,left null space也可以看出是原矩阵转置后的null space
性质
行空间 row space
维数 dimension
对于column space 我们知道其dimension就是rank
对于矩阵来说,
rank(A)=rank(AT)
由上可知,row space的dimension就是
基 basics
还记得rref(行最简式)?其化简过程为行变换,实际上就是对row vector进行线性组合linear combination,其行空间并不会发生改变,而我们最终得到的行最简矩阵
同理,column space 的basics可由矩阵转置后的rref获得。
左零空间 left null space
性质
对于
ATy=0 ,两边都转置transpose,得yTA=0
现在方程的形式是一个行向量左乘一个矩阵,因此得名left null space。
维数 dimension
null space的维数是
基 basics
观察我们化简行最简rref的过程,中间所有的化简步骤都可以用一个矩阵
老师最后引入了矩阵空间matrix space,从
PS:更详细的课堂笔记见另一位仁兄的笔记 http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/13294493
PS2:文中各种英文的原因在于我急于熟悉这些概念的英文名称,而一直重复记录和理解是我目前能想到的一个笨办法