《预测控制》学习记录二-DMC的内模控制结构（IMC）分析

书中是讲完DMC接着讲的GPC，不过我想接着写DMC，将DMC的有关内容写完。
预测控制的部分先不写了,先去学点数学知识
　　上一篇文章写了在无约束单输入单输出情况下的DMC的原理，及其仿真。我在仿真时取N=P=M=20，所以至少有40个参数可以调节，那么如何去选择这些参数？有没有一些结论去供我们参考呢？这就涉及到我接下来要写的这部分内容DMC的内模控制结构，内模控制结构即IMC（internal model control,我猜的哈，没查过），可以用来有效的分析预测控制系统。那么它究竟是以一种什么样的原理去分析预测控制系统的呢？笼统地可以表达成针对ＩＭＣ具有一些定理和结论，我们将ＤＭＣ变换为ＩＭＣ的结构，将ＩＭＣ的定理和结论套用在上面，来达到分析ＤＭＣ的目的。所以为了达成这个目的我们需要做的工作：１.了解ＩＭＣ的结构，及其相关定理。２．将ＤＭＣ变换为ＩＭＣ。３．分析变换为ＩＭＣ结构的ＤＭＣ，有点像大象关冰箱里分几步哈。

首先是第一个工作，ＩＭＣ的结构和定理。

　　ＩＭＣ的基本的结构就如上图所示，其中$w(z)$为参考输入，$u(z)$为控制量，$v(z)$为扰动量，$y(z)$为输出量。从上面这个结构很容易得出传递函数：$y(z)=G_w(z)\frac {G_c(z)G_p(z)}{1+G_c(z)G_F(z)[G_p(z)-G_M(z)]}w(z)+\frac {1-G_c(z)G_F(z)G_M(z)}{1+G_c(z)G_F(z)[G_p(z)-G_M(z)]}v(z)--------（1）$
　　其中的$G_w(z)$称为参考模型，根据控制方式的不同，有所不同。未分析方便将$G_w(z)$设为1。在之后的分析中还会涉及到。
　　$G_c(z)$为控制器，$G_p(z)$为对象，$G_M(z)$为针对对象建立的模型，$G_F(z)$为滤波器。
　　这个就是IMC的结构，还是挺简单的，接下来介绍IMC的几个性质或者说结论：
　　1.对偶稳定准则
　　在模型精确时，即模型$G_M(z)$等于对象$G_p(z)$时，我们将$G_M(z)=G_p(z)$代入(1)式中，可以得到$y(z)=G_c(z)G_p(z)w(z)$可以得到系统此时的传递函数：$F_0(z)=G_c(z)G_p(z)$，系统在对象$G_p(z)$和控制器$G_c(z)$稳定时稳定。
　　2.完全控制器
　　在对像稳定且模型准确的前提下，若取控制器为$G_c(z)=\frac {1}{G_-(z)}--（2）$则控制系统对镇定或跟踪控制都具有最小输出方差。式中的$G_-(z)$来自于模型下述分解$G_M(z)=G_+(z)G_-(z)$其中$G_+(z)=z^{-(l+1)}\prod_{i=1}^p(\frac{z-z_i}{z-\hat{z}_i})(\frac{1-\hat{z}_i}{1-z_i})$，式中$l$是对象的纯滞后数，再+1是为了计入采样保持所附加的一拍滞后；p为对象在单位圆外的零点数；$z_i$为单位圆外的零点，$\hat{z}_i=1/z_i$为器在单位圆内的映射。控制器（2）称为完全控制器，我不理解书上为什么要将$G_+(z)$写成这种形式，按《计算机控制》的最小拍来说的话，也不是这种形式，或许还和最小方差控制相关？有懂的同学方便的话告诉我一下。虽然和计算机控制上的形式不太一样，但目的却是一样的，都是为了对消被控对象中的可控部分，而滞后和不稳定部分保留，但如果被控对象中含有不稳定部分，也就不符合预测控制的要求了，不符合性质1，所以在接下来的讨论中被控对象可以认为都是稳定的。
　　3.零静差
　　不论模型与对象是否失配，就是不论模型$G_M(z)$等不等于对象$G_p(z)$，只要闭环系统是稳定的，且控制器$G_c(1)=1/G_M(1)$,滤波器满足$G_F(1)=1$.则系统对于阶跃输$w$和常值扰动$v$均不存在输出静差。这个推导的话，大家对式（1）运用终值定理就可以推出来。

第二个工作，将DMC变换为IMC

在变换之前我们先把上一节得到的DMC的结构再列一下，
　　
　　其中$a= 　　[0.0867,0.2917,0.5413,0.7851,0.9818,1.1166,1.1882,1.2059,1.1846,1.1407,1.0886,1.0394,1.001,0.9738,0.9603,0.9577,0.9627,0.9721,0.9829,0.9929;$
　　$d^T=[0.00741,0.0192, 0.0254, 0.0348, 0.0135, 0.0141, 0.0109, 0.0073, 0.0042 0.0017 0.00067 ,0.000427 ,0.000256, 0.000142, 0,0,0,0,0,0]$
　　$h=[1,1 ,1, 1, 1, 1, 1, 1 ,1 ,1 ,1 ,1, 1 ,1 ,1, 1, 1, 1, 1, 1]^T$
　还需要上一篇的几个公式：
　 　　　　　　
　　　　　 　　　
　　接下来开始变换，首先需要将DMC变换成如下的形式：
　　
由（1）（2）式




接下来再变换成




(没网费了。。下次再写)，