車輛控制-輸出反饋

概述

當測量車輛相對於道路的橫向位置時，通常將測量點設定位於車輛前方。使用傳感器去測量橫向位置可以使用差分GPS和前視攝像頭等。

輸出模型

假設一種簡單的輸出模型，其中偏航角誤差$e_{\psi}$很小，所以弦長近似等於弧長，因此相對於輸出狀態的測量方程形式如下：
$y = e_y + d_se_{\psi} \tag{1}$
其中，$d_s$代表車輛前瞄點相對於車輛重心的縱向距離。

單位循環反饋系統

單位循環反饋系統如上圖所示，其中$P(s)$代表車輛轉向輸入與橫向位置輸出之間的傳遞函數，$C(s)$代表控制器的傳遞函數，由道路曲率確定的目標偏航角速度通過傳遞函數$G(s)$影響系統的動力學特性。$n(t)$代表影響系統的傳感器噪聲。

• P(s)的狀態空間方程如下
  $\left \{ \begin{array}{rl} \dot{x} = A\cdot x +B \cdot \delta\\ y = C\cdot x + D\cdot\delta \end{array} \right.$
  其中，$A$和$B$參考車輛模型-跟蹤誤差模型 中的內容，根據上述的輸出模型，$C=\begin{bmatrix}1&0&d_S&0\end{bmatrix}$，$D = \begin{bmatrix}0\end{bmatrix}$。

預瞄距離$d_s$對系統的影響

零極點圖

• 當$d_s=2$時，零極點分佈如下：
  
• 當$d_S=7$時，零極點分佈如下：
  
  由上述零極點圖可知，$P(s)$有兩個極點位於原點，一對共軛復極點和一對共軛復零點。隨着$d_s$的增加，一對共軛復零點的阻尼也增加。

波特圖

設置$d_s = 2$m，車輛的縱向速度爲$25m/s$，則$P(s)$的波特圖如下圖所示。

比例控制迴路分析

由於控制傳輸函數$C(s)$=K

Nyquist圖

1. 當$K = 1$時，輪廓包圍$[-1,0]$點。
   
2. 當$K = 0.01$時
   

根軌跡圖

當增益很小時，如下圖所示$K = 0.1076$，有一對共軛復極點位於右半平面，故系統不穩定。

當增益比較大時，如下圖所示$K = 1$，那對共軛復極點位於左半平面內，系統是穩定的。

通過上述兩幅圖可知，隨着增益的變大，系統逐漸趨於穩定。

Bode圖

下面通過bode圖分析增益$K$對相頻特性的影響

• 當$K=1$時，可以獲得18度的相位裕度。
  
• 當$K=10$時，系統穩定，但是相位裕度只有8度。
  

超前補償器

控制補償器的傳輸函數如下：
$C(s) = K\frac{T_ns+1}{T_ds+1}$
根據超前補償器的設計定義，如果使得$T_n > T_d$，則是超前補償器，通過一個超前補償器可以提高系統的相位裕量。

• 當$T_n = 0.5$、$T_d=0.1$、$K=0.01$時，對應的波特圖如下：
  
• $K = 1$
  
• $K = 0.1$
  
  通過在低頻段添加超前補償器可以提高系統的相頻特性

根軌跡圖

帶有超前補償器系統的根軌跡圖如下圖所示，從圖中可以看出，對於所有的補償增益值$K$，閉環系統都是穩定的。