静磁问题

静磁方程

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪∇⋅B=0∇×H=jB=μ0(H+M)H=H(B) or M=M(H)

磁标势

在∇×H=0 的单通区域，可以引入磁标势φm ，满足H=−∇φm 。

普通线性介质

B=μH

根据

∇⋅B=0

得

∇2φm=−∇⋅H=0

即φm 满足Laplace方程.

当区域内存在多种介质时，在边界处有

aφm1=φm2μ1∂φm1∂n=μ2∂φm2∂n

铁磁质

铁磁质中M 对H 的依赖关系很复杂

另一方面，由于没有传导电流，标势在全空间都有意义。

根据

∇⋅B=0B=μ0(H+M)

得

∇2φm=−∇⋅H=∇⋅M

引入磁荷密度ρm

ρm=−μ0∇⋅M

得

∇2φm=−ρmμ0

所以有

φm(x)=−14π∫∇′⋅M|x−x′|3d3x′

表面电荷密度Σm 为

Σm=μ0M⋅n

所以有

φm(x)=−14π∫∇′⋅M(x′)|x−x′|3d3x′+14π∮n⋅M(x′)|x−x′|3d3x′

---

引入面磁流密度jm

∇×H=∇×(B0μ0−M)=1μ0∇×(∇×A)−∇×M=0∇⋅A=0⇒∇2A=−μ0jm,jm=∇×MA(x)=μ04π∫∇′×M(x′)|x−x′|3d3x′