线性代数09 特征值与特征向量

在上一节我们提出了对于矩阵求幂的运算，关键在于找到一个可逆矩阵P，使得A可以化成对角矩阵D。而这个逆矩阵能否找到，就在于能不能找到n个线性无关的向量满足：$Aa_{i}=\lambda_{i}a_{i}$

对于这个式子，我们引入了一个专门的概念来求解这其中的λ和列向量。

1 特征值与特征向量

如果对于矩阵A来说，有非零列向量使得：
$Aa=\lambda_{0}a \\ \ \\ 那么我们称\lambda_{0}是A的一个特征值，列向量a是A的对应于\lambda_{0}的一个特征向量$

2 特征值/特征向量的求法

对公式进行以下变换：
$Aa=\lambda_{0}a \\=>Aa-\lambda_{0}a=0\\=>Aa-\lambda_{0}Ia=0\\=>a(A-\lambda_{0}I)=0$
对以上这个式子来说，要么a=0，要么A−λ0I=0.由于我们限定了a不能为零向量，那么对于
$(A-\lambda_{0}I)=0\\两边同时取行列式|(A-\lambda_{0}I)|=0$
即λ是满足以上等式的一个解，同时，若我们将λ求出，代入原式，则向量a则是线性方程组：
$(A-\lambda_{0}I)=0$的非零解，且，有多少个特征值，就有多少个特征向量。

3 求解实例

3 总结

由特征值和特征向量的定义和求解方式，我们可以知道，n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。此时我们要找的可逆矩阵P符合：
$P=[a_{1},a_{2}.....a_{n}]$
所以也有：
$P^{-1}AP=diag\{\lambda_{1},\lambda_{2}.....\lambda_{n}\}$