人工智能教程 - 數學基礎課程1.2 - 數學分析(三)-4,5

一階方程換元法

尺度變換(Scaling)

$x_1=\frac{x}{a};y_1 =\frac{y}{b}$

1. 改變單位(change units)
2. make vars dimensionally
3. redue # , or simplify constants

Direct Sub:

伯努利方程(Bernoulli equation)

$y'=p(x)y+q(x)y^n(n \neq 0)$

齊次(Homogeneous)

一階自治(ODE)

1. 找臨界點(Find Critical point)
2. 畫圖(Graph)

Logistic EQN: 描述人口增長

Population behavior y(t)

$\frac{dy}{dt}=ky$ (k=growth rate)

k constant
k = a- by

$\frac{dy}{dt}=ay-by^2$

(應用於疾病傳播，流言傳播)

一階常係數線性方程

General form:

$y'+ky=kq(t)$

Solution:

$y=e^{-kt}\int q(t)e^{kt}dt+ce^{-kt}$

$(ce^{-kt}=0 \ \ as \ \ t\rightarrow \infty)$

穩態解(steady-state solution) ; 長效解(long-term solution)

卷積

convolution

$f(t) * g(t)$

$F(s) = \int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt$
$G(s) = \int_{0}^{\infty}e^{-st}g(t)dt$
$F(s)G(s) = \int_{0}^{\infty}e^{-st}(f*g)dt$

$F(x) = \sum_{0}^{\infty}a_nx^n$
$G(x) = \sum_{0}^{\infty}b_nx^n$
$n\rightarrow t \ \ ; \ \ x\rightarrow e^{-s}$

$f(t) *g(t))= \int_{0}^{t}f(u).g(t-u)du$