【人工智能學習筆記】 1.3高等代數(一) -14.矩陣的運算：加法，乘法，數量乘法，轉置

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矩陣的運算：加法，乘法，數量乘法，轉置

1.加法

1.1 定義

設$A=(a_{ij})_{s\times n},B=(b_{ij})_{s\times n},$則矩陣

$C=(c_{ij})_{s\times n}=(a_{ij}+b_{ij})_{s\times n}$

稱爲矩陣A與B的和，記作　C=A+B ．即

$A+B=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & ... &a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & ... &a_{2n}+b_{2n} \\ ... & ... & ...&... \\ a_{s1}+b_{s1} & a_{s2}+b_{s2} & ... &a_{sn}+b_{sn}\end{pmatrix}$

說明 只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.

1.2 性質

(1) A+B = B+A 交換律

(2) A+(B+C)=(A+B)+C 結合律

(3) A+0 = A

(4) A+(-A) = 0

1.3 減法

A-B = A+(-B)

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2.乘法

2.1 定義

設$A=(a_{ij})_{s\times n},B=(b_{ij})_{n\times m},$則$s\times n$矩陣

$C=(c_{ij})_{s\times m},$其中

$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+...+a_{in}b_{nj}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$

$i=1,2,...,s, j=1,2,...,m$

稱爲 A與B的 積，記爲 C = AB ．

注

① 乘積 AB 有意義要求 A 的列數＝B 的行數.

② 乘積 AB 中第 i 行第 j 列的元素由 A的第 i 行乘 B 的第 j 列相應元素相加得到．

例: 線性方程組

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...a_{2n}x_n=b_2\\ ...\\a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+...a_{sn}x_n=b_s\\ \end{matrix}\right.$ (1)

令$A=(a_{ij})_{s\times n}$,X=$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\.\\.\\x_n\end{pmatrix},$B=$\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\.\\.\\b_n\end{pmatrix}$

則（1）可看成矩陣方程 AX = B .

注

① 一般地，$AB \neq BA$ .

若 AB = BA ，稱A與B可交換.

② AB A B 未必有 A=0 或 B=0.

即 $A \neq 0$且 $B \neq 0$時，有可能 AB = 0

③ AX = AY 未必 X＝Y

2.2 矩陣乘法的運算規律

(1) (AB)C = A(BC) (結合律)

(2) A(B+C) = AB + AC

(B+C)A = BA + CA （分配律)

(3) $A_{s\times n}E_n=E_sA_{s\times n}=A_{s\times n}$

(4) A0 = 0, 0A = 0

(5) $\begin{pmatrix}a_{1} & && \\ & . & & \\ & & .& \\ & &&a_{n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{1} & && \\ & . & & \\ & & .& \\ & &&b_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1}b_{1} & && \\ & . & & \\ & & .& \\ & &&a_{n}b_{n}\end{pmatrix}$

2.3 矩陣的方冪

定義 設 A爲n級方陣． 定義

$A^1=A,A^{k+1}=A^kA,$

即,$A^k=A.A...A,$

稱$A^k$爲A的 k次冪

性質

(1) $A^kA^l=A^{k+l},k,l \in Z^+$

(2) $(A^k)^{l}=A^{kl},k,l \in Z^+$

(3) 一般地 , $(AB)^{k} \neq A^kB^k;$

$\begin{pmatrix}a_{1} & &&0 \\ & . & & \\ & & .& \\ 0& &&a_{n}\end{pmatrix}^k=\begin{pmatrix}a_{1}^k & && 0\\ & . & & \\ & & .& \\ 0& &&a_{n}^k\end{pmatrix},k\in Z^+.$

3.數量乘法

3.1 定義

設$A=(a_{ij})_{s\times n},k \in P ,$則矩陣 $(ka_{ij})_{s\times n}$

稱爲矩陣 A 與數 k 的數量乘積．記作：kA.

$kA=\begin{pmatrix}ka_{11} & ka_{12} & ... &ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & ... &ka_{2n} \\ ... & ... & ...&... \\ ka_{s1} & ka_{s2} & ... &ka_{sn}\end{pmatrix}$

3.2 性質

(1) $(\lambda \mu)A= \lambda (\mu A)$ ;

(2) $(\lambda + \mu)A= \lambda A+ \mu A$ ;

(3) $\lambda(A + B)= \lambda A+ \lambda B$ ;

(4) $1.A = A$;

(5) $k(AB) = (kA)B = A(kB)$;

注 : 矩陣的加法與數量乘法合起來,統稱爲矩陣的線性運算 .

(6) 若 A 爲 n 級方陣，$|kA|=k^n|A|$ ;

(7) $kA=(kE)A = A(kE)$;

(數量矩陣與任意矩陣可交換)

(8) $kE+lE=(k+l)E$

(9) (kE)(lE)=(kl)E.

(數量矩陣加法與乘法可歸結爲數的加法與乘法)

4.轉置

4.1 定義

$A=(a_{ij})_{s\times n},$A的轉置矩陣是指矩陣

$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{21} & ... &a_{s1} \\ a_{12} & a_{22} & ... &a_{s2} \\ ... & ... & ...&... \\ a_{1n} & a_{2n} & ... &a_{sn}\end{pmatrix}$

記作$A'$或$A^T$

4.2 性質

$(1) ( A')'=A$

$(2) ( A+B)'=A'+B';(A-B)'=A'-B';$

$(3) ( AB)'=B'A';$

$(4) ( kA')'=kA'$

$(5) 若 A爲方陣，則|A'|=|A|$

$(6) R(A)=R(A')$

4.3 對稱矩陣　反對稱矩陣

定義 : 設 n 級方陣 $A=(a_{ij})$,

(1) 若 A滿足 A’= A , 即

$a_{ij}=a_{ji},i,j=1,2,...,n$

則稱 A 爲對稱矩陣:

$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & ... &a_{2n} \\ ... & ... & ...&... \\ a_{1n} & a_{2n} & ... &a_{nn}\end{pmatrix}$

(2) 若 A滿足 A’= -A , 即

$a_{ji}=-a_{ij},i,j=1,2,...,n$

則稱 A 爲反對稱矩陣:

$\begin{pmatrix}0 & a_{12} & ... &a_{1n} \\ -a_{12} & 0 & ... &a_{2n} \\ ... & ... & ...&... \\ -a_{1n} & -a_{2n} & ... &0\end{pmatrix}$

性質 :

(1) A,B對稱$\Rightarrow$A+B， A-B對稱 ;

A,B反對稱$\Rightarrow$A+B， A-B反對稱 ;

(2) A對稱$,k \in P \Rightarrow kA$對稱 ;

A反對稱$,k \in P \Rightarrow kA$反對稱 ;

(3) 奇數級反對稱矩陣的行列式等於零