【人工智能學習筆記】 1.3高等代數(一) -8.一般線性方程組的基本概念,線性方程組的初等變換,齊次線性方程組的解

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一般線性方程組的基本概念:係數矩陣,增廣矩陣 ;線性方程組的初等變換

1.一般線性方程組的基本概念

1.1 一般線性方程組是指形式爲

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...a_{2n}x_n=b_2\\ ...\\a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+...a_{sn}x_n=b_s\\ \end{matrix}\right.$ (1)

的方程組，其中 $x_1,x_2,...,x_n$代表 n個未知量的係數,s是方程的個數 ; $a_{ij}(i=1,2,...,s,j=1,2,...,n)$　稱爲方程組的係數；：$b_i(i=1,2,...,s)$稱爲常數項

1.2 方程組的解

設$k_1,k_2,...,k_n$ 是 n個數，如果$x_1,x_2,...,x_n$ 分別用

$k_1,k_2,...,k_n$ 代入後，(1)中每一個式子都變成恆等式,則稱有序數組 $k_1,k_2,...,k_n$ 　是（1）的一個解

(1)的解的全體所成集合稱爲它的解集合．

解集合是空集時就稱方程組（1）無解．

1.3 同解方程組

如果兩個線性方程組有相同的解集合，則稱它們是同解的．

1.4 方程組的係數矩陣與增廣矩陣

矩陣$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n} \\ ... & ... & ...&... \\ a_{s1} & a_{s2} & ... &a_{sn}\end{pmatrix}$

稱爲方程組（1）的係數矩陣 ;

而矩陣$\bar{A}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n} & b_2 \\ ... & ... & ...&... & ...\\ a_{s1} & a_{s2} & ... &a_{sn}& b_s\end{pmatrix}$

稱爲方程組（1）的增廣矩陣

2.線性方程組的初等變換

2.1 定義

線性方程組的初等變換是指下列三種變換

① 用一個非零的數乘某一個方程；

② 將一個方程的倍數加到另一個方程上；

③ 交換兩個方程的位置．

2.2 性質

線性方程組經初等變換後，得到的線性方程組與原線性方程組同解．

2.3 階梯形方程組

爲了討論的方便，不妨設所得的階梯形方程組爲

$\left\{\begin{matrix} c_{11}x_1+c_{12}x_2+...+c_{1r}x_r+...+c_{1n}x_n=d_1\\ c_{22}x_2+...+c_{2r}x_r+...+c_{2n}x_n=d_2\\ .....................................................................\\ c_{rr}x_r+...+c_{rn}x_n=d_r\\ 0=d_{r+1}\\ 0=0\\ .......\\ 0=0\\ \end{matrix}\right.$

i)　若 r = n ．這時階梯形方程組爲

$\left\{\begin{matrix} c_{11}x_1+c_{12}x_2+...+c_{1n}x_n=d_1\\ c_{22}x_2+...+c_{2n}x_n=d_2\\ .....................................................................\\ c_{nn}x_n=d_n\\ \end{matrix}\right.$

由Cramer法則，此時方程組有唯一解

ii)　若 r < n ，這時階梯形方程組可化爲

$\left\{\begin{matrix} c_{11}x_1+c_{12}x_2+...+c_{1r}x_r=d_1-c_{1,r+1}x_{r+1}-...-c_{1n}x_n\\c_{22}x_2+...+c_{2r}x_r=d_2-c_{2,r+1}x_{r+1}-...-c_{2n}x_n\\ .................\\ c_{rr}x_r=d_r-c_{r,r+1}x_{r+1}-...-c_{rn}x_n\\ \end{matrix}\right.$

此時方程組有無窮多個解

總結：一般地，我們可以把 $x_1,...,x_r$通過$x_{r+1},...,x_n$表示出來．這樣一組表達式稱爲方程組的一般解，而$x_{r+1},...,x_n$稱爲一組自由未知量。

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3.齊次線性方程組的解

3.1 定理1

在齊次線性方程組

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=0\\ ................................................ \\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+...+a_{sn}x_n=0\\ \end{matrix}\right.$

中，如果 s < n ，則它必有非零解。