【人工智能學習筆記】 1.3高等代數(一) -18.初等矩陣，分塊乘法的初等變換

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初等矩陣,等價矩陣,用初等變換求矩陣的逆,分塊乘法的初等變換

一. 初等矩陣

1.1 定義

由單位矩陣 E 經過一次初等變換得到的矩陣，稱爲 初等矩陣.

三種初等變換對應着三種初等方陣:

1.對調兩行或兩列；

2.以數$k \neq0$乘某行或某列；

3.以數k乘某行（列）加到另一 行（列）上去．

1.2 初等矩陣的性質

1 初等矩陣皆可逆，且 其逆仍爲初等矩陣.

$P(i,j)^{-1}=P(i,j)$

$P(i(k))^{-1}=P(i(\frac{1}{k}))$

$P(i,j(k))^{-1}=P(i,j(-k))$

1.3 引理

對任一矩陣 A作一初等行(列)變換相當於對 A 左(右)乘一個相應的初等矩陣．

$P(i,j)A:$ 對換 A的 i j , 兩行;

$AP(i,j):$ 對換 A的 i j , 兩列．

$P(i(k))A:$ 用非零數 k乘 A 的第 i 列;

$AP(i(k)):$ 用非零數 k 乘 A 的第 i 列;

$P(i,j(k))A:$ A 的第 j行乘以 k加到第 i行 ;

$AP(i,j(k)):$ A 的第 i 列乘以 k加到第 j列

二. 等價矩陣

2.1 定義

若矩陣B可由A經過一系列初等變換得到，則稱A與B等價的．（也稱A與B相抵）

注：

①　矩陣的等價關係具有：　反射性、對稱性、傳遞性.

②　等價矩陣的秩相等．

2.2 矩陣等價的有關結論

定理 任一 $s \times n$ 矩陣 A 都與一形式爲

$\begin{pmatrix} 1 &... &... &0 &... &0 \\ . & . & ... &... & ... &... \\ . & ... & 1 & 0 & ... & 0\\ 0& ... &0 &0 &... &0 \\ ... & ... & ... & ... & ... &... \\ 0& ... & 0 & 0&... &0 \end{pmatrix}= \triangle \begin{pmatrix}E_r &0 \\ 0 &0 \end{pmatrix}$

的矩陣等價，稱之爲 A 的標準形, 且主對角線上1的個數 等於R(A)(1的個數可以是零).

2) 矩陣A、B等價

$\Leftrightarrow$存在初等矩陣$P_1,P_2,...,P_s,Q_1,Q_2,...,Q_t,$

$B=P_1P_2...,P_sAQ_1Q_2...Q_t.$

3) n 級方陣A可逆 $\Leftrightarrow$A的標準形爲單位矩陣E.

$\Leftrightarrow$A與單位矩陣E等價.

4) n 級方陣A可逆 $\Leftrightarrow$A能表成一些初等矩陣的積,

即 $A=Q_1Q_2...Q_t.$

三. 利用初等變換求逆陣

原理:當 $A \neq 0$時，由 $A=P_1P_2...P_t$，有

$P_l^{-1}P_{l-1}^{-1}...P_{1}^{-1}=E,$及$P_l^{-1}P_{l-1}^{-1}...P_{1}^{-1}E=A^{-1},$

$\therefore P_l^{-1}P_{l-1}^{-1}...P_{1}^{-1}(A \vdots E)$

$= (P_l^{-1}P_{l-1}^{-1}...P_{1}^{-1}A \vdots P_l^{-1}P_{l-1}^{-1}...P_{1}^{-1}E)$

$=(E\vdots A^{-1})$

即對$n \times 2n$矩陣$(A\vdots E)$ 施行初等行變換,當把A 變成 E時，原來的E就變成$A^{-1}$

四. 分塊乘法的初等變換

E分塊成$\begin{pmatrix} E_m & 0\\ 0 & E_n \end{pmatrix}$,作1次“初等變換”可得

$\begin{pmatrix} 0 & E_n \\ E_m & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & E_m \\ E_n & 0\end{pmatrix}$;

$\begin{pmatrix} P & 0 \\ 0 & E_n\end{pmatrix},\begin{pmatrix} E_m & 0 \\ 0 & P\end{pmatrix}$;

$\begin{pmatrix} E_m & P \\ 0 & E_n\end{pmatrix},\begin{pmatrix} E_m & 0 \\ P & E_n\end{pmatrix}.$

且有$\begin{pmatrix} 0 & E_n \\ E_m & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & B \\ C & D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} C & D\\A & B \end{pmatrix},$

$\begin{pmatrix} P & 0 \\ 0 & E_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & B \\ C & D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} PA & PB\\C & D \end{pmatrix},$

$\begin{pmatrix} E_m & 0 \\ P & E_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & B \\ C & D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A & B\\C+PA & D+PB \end{pmatrix},$

特別地,若A可逆，令 $P=-CA^{-1}.$上式變爲：

$\begin{pmatrix} E_m & 0 \\ -CA^{-1} & E_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & B \\ C & D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A & B\\0 & D-CA^{-1}B \end{pmatrix}$