【人工智能學習筆記】 1.1數學分析(一) -4.無窮小量

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無窮小量

1.無窮小及其階

 1.1 無窮小和無窮大的定義

  無窮小的定義: 當$x\rightarrow x_0$或$x\rightarrow \infty$時，極限爲零的函數稱爲無窮小量,

  簡稱無窮小

 1.2 無窮小的階

  例: 當$x\rightarrow 0$時,$x,x^2,sinx$都是無窮小

     $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x^2}{3x}=0$,$x^2$比3x要快得多

    $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sinx}{3x}=\frac{1}{3}$,$sinx$比3x大致相同

  極限不同，反映了無窮小趨向於零的"快慢"程度不同。

 1.3 無窮小的比較

   定義:假設$\alpha,\beta$是同一過程中的兩個無窮小量，且$\alpha \neq 0.$

  (1)如果$\lim{\frac{\beta}{\alpha}}=0$,則稱$\beta$是比$\alpha$高階的無窮小, 記作$\beta =o(\alpha)$;

  (2)如果$\lim{\frac{\beta}{\alpha}}=C(C\neq 0)$,則稱$\beta$與$\alpha$是同階的無窮小；
  特殊地 如果$\lim{\frac{\beta}{\alpha}}=1$,則稱$\beta$是$\alpha$的k價的無窮小；記作$\alpha\sim \beta$;

  (3)如果$\lim{\frac{\beta}{\alpha^k}}=C$,則稱$\beta$與$\alpha$是等價的無窮小；記作$\alpha\sim \beta$;

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2.等價無窮小替換定理(法則):

2.1 定理： 等價無窮小替換定理(法則)

   設$\alpha\sim \alpha',\beta\sim \beta'(\alpha' \neq0,\beta' \neq0),$且$\lim \frac{\beta'}{\alpha'}=A或\infty$，則

$\Large\color{red}\lim{\frac{\beta}{\alpha}}=\lim{\frac{\beta'}{\alpha'}}$;

 2.2 無窮小等價代換

$\Large\color{#C00000}(1) sinx \sim x$;

$\Large\color{#C00000}(2) tanx \sim x$;

$\Large\color{#C00000}(3) arcsinx \sim x$;

$\Large\color{#C00000}(4) e^x-1 \sim x$;

$\Large\color{#C00000}(5) ln(1+x) \sim x$;

$\Large\color{#C00000}(6) (1+x)^\alpha-1 \sim x$;

$\Large\color{#C00000}(7) 1-cosx \sim \frac{x^2}{2}$;