【人工智能學習筆記】 1.3高等代數(一) -12.線性方程組有解判別定理,齊次線性方程組解的結構,一般線性方程組解的結構

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線性方程組有解判別定理

1.線性方程組有解判別定理

定義

設線性方程組$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...a_{2n}x_n=b_2\\ ...\\a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+...a_{sn}x_n=b_s\\ \end{matrix}\right.$ (1)

其係數矩陣A和增廣矩陣$\bar{A}$分別爲

$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n} \\ ... & ... & ...&... \\ a_{s1} & a_{s2} & ... &a_{sn}\end{pmatrix}$

$\bar{A}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n} & b_2 \\ ... & ... & ...&... & ...\\ a_{s1} & a_{s2} & ... &a_{sn}& b_s\end{pmatrix}$

引入向量

$\alpha_1=\begin{pmatrix} a_{11}\\a_{21}\\.\\.\\.\\a_{s1}\\ \end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix} a_{12}\\a_{22}\\.\\.\\.\\a_{s2}\\ \end{pmatrix},...,\alpha_n=\begin{pmatrix} a_{1n}\\a_{2n}\\.\\.\\.\\a_{sn}\\ \end{pmatrix},\beta=\begin{pmatrix} b_{1}\\b_{2}\\.\\.\\.\\b_{n}\\ \end{pmatrix}$

於是（1）可表爲$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+...+x_n\alpha_n=\beta$

$\therefore$(1) 有解$\Leftrightarrow$ 可由向量組$\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_n$線性表出．

定理 線性方程組(1)有解的充分必要條件是(1)的係數矩陣與增廣矩陣的秩相等，即

$R(A)=R(\bar{A})$

總之，線性方程組(1)有解 $\Leftrightarrow R(A)=R(\bar{A})$

並且，若 $R(A)=R(\bar{A})=n$ 則(1)有唯一解；

若 $R(A)=R(\bar{A})<n$ 則(1)有無窮多個解.

2.齊次線性方程組解的結構

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...a_{1n}x_n=0\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...a_{2n}x_n=0\\ ...\\a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+...a_{sn}x_n=0\\ \end{matrix}\right.$ (1)

2.1 解的性質

性質1 （1）的兩個解的和還是（1）的解.

性質2 （1）的一個解的倍數還是（1）的解.

性質3 （1）的解的任一線性組合還是（1）的解

2.2 解空間

設 $W$ 爲齊次線性方程組（1）的全體解向量所成集合，則

$1)\forall \eta _1、\eta _2 \in W,\eta _1+\eta _2 \in W$

$2)\forall k \in P,\forall \eta \in W,k\eta \in W$

即 W 關於解的線性運算封閉，所以 W是一個向量空間，稱之爲齊次線性方程組（1）的 解空間．

2.3 基礎解系

定義 齊次線性方程組(1)一組解向量 $\eta_1,\eta_2,...\eta_r,$

若滿足

i） $\eta_1,\eta_2,...\eta_r,$線性無關；

ii）(1) 的任一解向量可由$\eta_1,\eta_2,...\eta_r,$線性表出.則稱 $\eta_1,\eta_2,...\eta_r,$爲(1)的一個 基礎解系．

2.4 基礎解系的存在性

定理 在齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎解系，並且基礎解系所含解向量的個數等於 n-r ，其中n是未知量的個數，r=R(A).

推論1 任一線性無關組的與（1）的某一基礎解系等價的向量組都是（1）的基礎解系．

推論2 若齊次線性方程組(1)的係數矩陣的秩爲 r ,則(1)的任意 n－r 個線性無關的解向量都是(1)的基礎解系．

2.5 齊次線性方程組解的結構

若 $\eta_1,\eta_2,...\eta_t$ 爲齊次線性方程組（1）的一個基礎解系，則（1）的 一般解（或通解）爲

$\eta=k_1\eta_1+......+k_t\eta_t,k_1,k_2,...,k_t \in P$

令$W=\{\eta=k_1\eta_1+......+k_t\eta_t|k_i \in P,i=1,...,t,$

則 W 就是齊次線性方程組（1）的 解空間

2.6 求基礎解系的一般方法

第一步： 對方程組(1)的係數矩陣A作初等行變換，化A爲行最簡形．不妨設

$A\overset{初等行變換}{\rightarrow}\rightarrow\begin{pmatrix} 1 & 0& ... & 0 & c_{1,r+1}& ...& c_{1n} \\ 0 & 1& ... & 0 & c_{2,r+1}& ...& c_{2n} \\ ...&...&...&...&...&...&...& \\ 0 & 0& ... & 1 & c_{r,r+1}& ...& c_{rn} \\ 0&0&...&0&0&...&0& \\ ...&...&...&...&...&...&...& \\ 0&0&...&0&0&...&0& \\ \end{pmatrix}$

第二步：寫出方程組(1)的一般解：

$\left\{\begin{matrix} x_1=-c_{1,r+1}x_{r+1}-...-c_{1n}x_{n}\\ x_2=-c_{2,r+1}x_{r+1}-...-c_{2n}x_{n}\\ ..............\\ x_r=-c_{r,r+1}x_{r+1}-...-c_{rn}x_{n}\\ \end{matrix}\right.$

$x_{r+1},x_{r+2},...,x_n$爲自由未知量.

第三步：

用 n - r 組數(1,0,… ,0),(0,1, …,0),… ,(0,… ,0,1)代入自由未知量$(x_{r+1},x_{r+2},...,x_n)$得出方程組(1)的 n - r 解：

3.一般線性方程組解的結構

設線性方程組$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...a_{2n}x_n=b_2\\ ...\\a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+...a_{sn}x_n=b_s\\ \end{matrix}\right.$ (3)

則齊次線性方程組

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...a_{1n}x_n=0\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...a_{2n}x_n=0\\ ...\\a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+...a_{sn}x_n=0\\ \end{matrix}\right.$ (4)

稱爲（3）的導出組．

3.1 解的性質

性質1 非齊次線性方程組（3）的兩個解$\xi _1 、\xi _2$的差

$\xi _1 -\xi _2$ 爲其導出組（4）的解．

性質2 非齊次線性方程組（3）的一個解$\xi$與其導出 組（4）的一個解 $\eta$的和$\xi +\eta$ 仍爲（3）的解．

注　非齊次線性方程組的兩個解的和及一個解的倍數一般不再是該非齊次線性方程組的解

3.2 非齊次線性方程組解的結構

定理 如果$\gamma_0$ 是非齊次線性方程組（3）的一個特解，那麼方程組（3）的任一個解 $\gamma$ 都可以表成

$\gamma=\gamma_0+\eta$

$\eta$ 爲其導出組（4）的一個解．

從而，方程組（3）的一般解爲

$\gamma=\gamma_0+k_1\eta_1+...+k_{n-r}\eta_{n-r}$

$\eta_1,\eta_2,...\eta_{n-r},$ 爲導出組（4）的一個基礎解系．

推論 非齊次線性方程組（3）在有解的條件下，解是唯一的充要條件是它的導出（4）只有零解.

3.3 求一般線性方程組(3)的一般解的步驟

第一步：對(3)的增廣矩陣作初等行變換化階梯陣,根據階梯陣判斷(3)是否有解．若有無窮多個解，先寫出(3)的一個特解 $\gamma_0$

第二步：求出(3)的導出組(4)的一個基礎解系

$\eta_1,\eta_2,...\eta_t$

第三步：寫出(3)的一般解(通解)

$\gamma=\gamma_0+k_1\eta_1+...+k_{t}\eta_{t},k_1,k_2,...,k_t \in P$