【人工智能學習筆記】 1.3高等代數(一) -9.n維向量的概念,n維向量的運算,n維向量空間

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n維向量的概念,n維向量的運算,n維向量空間

1.n維向量的概念

1.1 定義

由數域P上的n個數組成的有序數組($a_1,a_2,...,a_n$)稱爲數域P上的一個n維向量；

$a_i$稱爲該向量的第i個分量．

注:

① 向量常用小寫希臘字母$\alpha,\beta,\gamma,...$ 來表示；

② 向量通常寫成一行 $\alpha = (a_1,a_2,...,a_n)$稱之爲行向量；

向量有時也寫成一列 $\alpha = \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ .\\ .\\ .\\ a_n \end{pmatrix}$稱之爲列向量

1.2 向量的相等

如果n維向量 $\alpha = (a_1,a_2,...,a_n),\beta = (b_1,b_2,...,b_n)$的對應分量皆相等，即

$a_i=b_i,i=1,2,...,n$

則稱向量 $\alpha$與 $\beta$ 相等，記作 $\alpha =\beta$

．

1.3 特殊向量

零向量：分量全爲零的向量稱爲零向量，記作0．即: 0 (0,0, ,0) .

負向量：向量$\alpha = (a_1,a_2,...,a_n),$ 則向量$(-a_1,-a_2,...,-a_n)$稱爲向量$\alpha$的負向量，記作$-\alpha$ .

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2.n 維向量的運算 — 加法、數量乘法

2.1 定義

設向量$\alpha = (a_1,a_2,...,a_n),\beta=(b_1,b_2,...,b_n)$

k 爲數域 P 中的數，定義向量

$\alpha +\beta = (a_1+b_1,a_2+b_2,...,a_n+b_n)$

稱$\alpha +\beta$ 爲向量 $\alpha$ 與 $\beta$ 的和；

定義向量$k\alpha = (ka_1,ka_2,...,ka_n)$

稱 $k\alpha$ 爲向量 $\alpha$ 與數 k 的數量乘積．

2.2 向量運算的基本性質

1） $\alpha+\beta=\beta+\alpha$

2） $(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$

3） $\alpha+0= \alpha$

4） $\alpha+(-\alpha)= 0$

5） $k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$

6） $(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha$

7） $k(l\alpha)= (kl)\alpha$

8） $1.\alpha= \alpha$

9） $0.\alpha=0，k.0=0,(-1).\alpha=-\alpha$

10）若$k\neq 0,\alpha\neq 0$,則$k.\alpha\neq0$

即，若$k.\alpha=0$,則$k=0$或$\alpha=0$

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3.n 維向量空間

定義

數域P上的 n 維向量的全體，同時考慮到定義在它們上的加法和數量乘法，稱爲數域 P 上的n 維向量空間，記作$P^n$

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