【人工智能學習筆記】 1.3高等代數(一) -7.行列式：行列式按行(列)展開，Cramer法則，Laplace定理行列式乘法法則

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行列式：行列式按行(列)展開，Cramer法則，Laplace定理行列式乘法法則

1.行列式按行(列)展開

1.1 餘子式、代數餘子式

定義： 在 n 級行列式 $det(a_{ij} )$ 中將元素 $a_{ij}$所在的第 i 行與第 j 列劃去，剩下 $(n-1)^2$個元素按原位置次序構成一個 n - 1 的行列式，

$\begin{vmatrix} a_{11} &... &a_{1,j-1} &a_{1,j+1} &... & a_{1n} \\ ... & ... & ... & ... & ... &... \\ a_{i-1,1} &... &a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1} &... & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} &... &a_{i+1,j-1} &a_{i+1,j+1} &... & a_{i+1,n} \\ ... &... & ... & ... & ... &... \\ a_{n1} &... &a_{n,j-1} &a_{n,j+1} &... & a_{nn} \end{vmatrix}$

稱之爲元素 $a_{ij}$ 的餘子式,記作 $M_{ij}$．

令 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

稱 $A_{ij}$之爲元素 $a_{ij}$ 的代數餘子式．

注意

1）行列式中每一個元素分別對應着一個餘子式和代數餘子式．

2）元素 $a_{ij}$ 的餘子式和代數餘子式與$a_{ij}$ 的大小無關，只與該元素的在行列式中的位置有關．

1.2 定理 行列式按行（列）展開法則

定義： 行列式 D 等於它的任一行（列）的各元素與其對應的代數餘子式乘積之和，即

$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}=\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik}$

1.3 範德蒙行列式

定義： 行列式 D 等於它的任一行（列）的各元素

$D_n=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & ... &1 \\ a_1 & a_2 & a_3 &... &a_n \\ a_1^2 &a_2^2 &a_3^2 &... & a_n^2\\ ...& ... &... &... &... \\ a_1^{n-1} &a_2^{n-1} & a_3^{n-1} & ... & a_n^{n-1} \end{vmatrix}=\prod _{1\leq j<i \leq n}(a_i-a_j)$

2.Cramer(克蘭姆)法則

2.1 非齊次與齊交線性方程組的概念

非齊次線性方程組：設線性方程組

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...a_{2n}x_n=b_2\\ ...\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...a_{nn}x_n=b_n\\ \end{matrix}\right.$

若常數項$b_1,b_2,...,b_n$不全爲零，則稱爲此線性方程組爲非齊次線性方程組．

簡記爲$\sum_{j=1}^na_{ij}x_j=b_i,$

$i=1,2,...,n$

若常數項$b_1=b_2=...=b_n=0$, 即

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...a_{1n}x_n=0\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...a_{2n}x_n=0\\ ...\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...a_{nn}x_n=0\\ \end{matrix}\right.$

則稱爲齊次線性方程組．

簡記爲$\sum_{j=1}^na_{ij}x_j=0,$

$i=1,2,...,n$

2.2 克蘭姆法則

如果線性方程組$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...a_{2n}x_n=b_2\\ ...\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...a_{nn}x_n=b_n\\ \end{matrix}\right.$的係數矩陣

$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n} \\ ... & ... & ...&... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... &a_{nn}\end{pmatrix}$

的行列式$D=|A|\neq 0,$,則方程組 有唯一解

$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},...,x_n=\frac{D_n}{D}$

3.Laplace定理行列式乘法法則

3.1 k 級子式　餘子式　代數餘子式

定義： 在一個 n 級行列式 D 中任意選定 k 行 k 列 ( $k \leq n$ )，位於這些行和列的交叉點上的$k^2$ 個元素按照原來次序組成一個 k 級行列式 M，稱爲行列式D 的一個 k 級子式；在 D 中劃去這 k 行 k 列後餘下的元素按照原來的次序組成的n - k 級 行列 式 M’ ，稱爲 k 級子式 M 的餘子式；

若 k 級子式 M 在 D 中所在的行、列指標分別是

$i_1,i_2,...,j_k;j_1,j_2,...,j_k$，則在 M 的餘子式M’ 前加上符號$(-1)^{i_1+i_2+...+i_k+j_1+j_2+...+j_k}$後稱之爲 M 的代數餘子式，記爲 .
$A = (-1)^{i_1+i_2+...+i_k+j_1+j_2+...+j_k}M'$

3.2 Laplace 定理

定義： 設在行列式 D 中任意取 $k ( 1 \leq k \leq n-1 )$行，由這 k 行元素所組成的一切k級子式與它們的代數餘子式的乘積和等於 D．即若 D 中取定 k 行後，由這 k 行得到的 k 級子式爲 $M_1,M_2,...,M_t$ ，它們對應的代數餘子式分別爲$A_1,A_2,...,A_t$ ,則$D=M_1A_1+M_2A_2+...+M_tA_t$