【人工智能學習筆記】 1.3高等代數(一) -15.矩陣乘積的行列式，非退化矩陣，矩陣乘積的秩

聲明：部分內容來自於慕課，公開課等的課件，僅供學習使用。如有問題，請聯繫刪除。

部分內容來自北京大學，清華大學等的課件

矩陣乘積的行列式，非退化矩陣，矩陣乘積的秩

一. 矩陣乘積的行列式

1.1 引入 行列式乘法規則

$D_1=\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{1n} \\ ... & ... & ... &... \\ a_{n1} &a_{n2} & ...&a_{nn} \end{vmatrix}$— |A|

$D_2=\begin{vmatrix} b_{11} &b_{12} &... &b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & ... &b_{1n} \\ ... & ... & ... &... \\ b_{n1} &b_{n2} & ...&b_{nn} \end{vmatrix}$— |B|

則$D_1D_2=\begin{vmatrix} c_{11} &c_{12} &... &c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & ... &c_{1n} \\ ... & ... & ... &... \\ c_{n1} &c_{n2} & ...&c_{nn} \end{vmatrix}$— |AB|

其中$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{in}b_{nj}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj},$

$i,j=1,2,...,n$

1.2 定理1

設 A B, 爲數域 P上的 n級矩陣，則

$|AB|=|A||B|$

1.3 推廣

$A_1,A_2,...,A_t$爲數域 P 上的 n 級方陣，則

$|A_1A_2...A_t|=|A_1||A_2|...|A_t|.$

二. 非退化矩陣

2.1 定義

設 A 爲數域 P上的 n級方陣，

若 $|A|\neq 0$，則稱 A爲非退化的；

若 $|A|= 0$，則稱 A爲退化的；

注： n 級方陣 A非退化$\Leftrightarrow R(A)=n \Leftrightarrow |A| \neq 0$.

n 級方陣 A退化$\Leftrightarrow R(A)<n \Leftrightarrow |A| = 0$.

2.2 推論

設 $A,B$爲數域 P上的 n級矩陣，則

$AB$ 非退化 $\Leftrightarrow A,B$ 都非退化

($AB$ 退化 $\Leftrightarrow A或B$ 退化）

三. 矩陣乘積的秩

3.1 定理

設$A_{n \times m},B_{m \times s}$爲數域 P上的矩陣，則

$R(AB) \leq min(R(A),R(B)).$

3.2 推廣

如果$A=A_1A_2...A_t,$則

$R(AB) \leq min(R(A_1),R(A_2),...,R(A_t)).$