【人工智能學習筆記】 1.3高等代數(一) -17.分塊矩陣

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分塊矩陣的概念,分塊矩陣的運算,準對角矩陣

一. 分塊矩陣的概念

定義

設A是一個矩陣，在A的行或列之間加上一些線，把這個矩陣分成若干小塊．用這種方法被分成若干小塊的矩陣叫做一個 分塊矩陣．每一個分塊的方法叫做A一種 分法

特殊分法:

設矩陣$A = (a_{ij})_{s \times n},$

按行分塊$A=\begin{pmatrix}A_1\\A_2\\.\\.\\.\\A_s\end{pmatrix},$其中$A_i=(a_{i1},a_{i2},...,a_{in}),i=1,2,..,s$

按列分塊$A=(A_{1},A_{2},...,A_{n})$其中$A_j=\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\.\\.\\.\\a_{nj}\end{pmatrix},j=1,2,..,n$

二. 分塊矩陣的運算

2.1 加法

設 A, B 是兩個$m \times n$矩陣，對它們用同樣的分法分塊:

$A=\begin{pmatrix}A_{11} &...&A_{1r} \\.&&.\\.&&.\\.&&.\\A_{s1} &...&A_{sr}\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}B_{11} &...&B_{1r} \\.&&.\\.&&.\\.&&.\\B_{s1} &...&B_{sr}\end{pmatrix},$

其中子塊 $A_{ij}$與 $B_{ij}$爲同型矩陣，則

$A+B=\begin{pmatrix}A_{11}+B_{11} &...&A_{1r}+B_{1r} \\.&&.\\.&&.\\.&&.\\A_{s1}+ B_{s1} &...&A_{sr}+B_{sr}\end{pmatrix}.$

2.2 數量乘法

設分塊矩陣$A=\begin{pmatrix}A_{11} &...&A_{1r} \\.&&.\\.&&.\\.&&.\\A_{s1} &...&A_{sr}\end{pmatrix},\lambda \in P ,$則$\lambda A=\begin{pmatrix} \lambda A_{11} &...&\lambda A_{1r} \\.&&.\\.&&.\\.&&.\\\lambda A_{s1} &...&\lambda A_{sr}\end{pmatrix}$

2.3 乘法

把矩陣$A = (a_{ik})_{m \times n},B = (b_{kj})_{n \times p}$分塊成

$A=\begin{pmatrix}A_{11} &...&A_{1t} \\.&&.\\.&&.\\.&&.\\A_{s1} &...&A_{st}\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}B_{11} &...&B_{1r} \\.&&.\\.&&.\\.&&.\\B_{t1} &...&B_{tr}\end{pmatrix},$

其中$A_{i1},A_{i2},...,A_{it}$ 的列數分別等於$B_{1j},B_{2j},...,B_{ij}$的行數 那麼

$AB=\begin{pmatrix}C_{11} &...&C_{1r} \\.&&.\\.&&.\\.&&.\\C_{s1} &...&C_{sr}\end{pmatrix}$

其中$C_{ij}=\sum_{k=1}^tA_{ik}B_{kj}(i=1,...,s;j=1,...,r).$

2.4 轉置

設分塊矩陣$A=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&...&A_{1t}\\A_{21}&A_{22}&...&A_{2t}\\...&...&...&...\\A_{s1}&A_{s2}&...&A_{st}\\\end{pmatrix},$則

$A'=\begin{pmatrix}A_{11}'&A_{21}'&...&A_{s1}'\\A_{12}'&A_{22}'&...&A_{s2}'\\.&.&.&.\\.&.&.&.\\.&.&.&.\\A_{1t}'&A_{2t}'&...&A_{st}'\\\end{pmatrix}.$

三. 準對角矩陣

3.1 定義

形式如$A=\begin{pmatrix}A_{1} && \\&A_{2} && 0\\&&.\\&&&.\\&0&&&.\\&&&&&A_{s} \end{pmatrix},$

的分塊矩陣，其中$A_i$爲$n_i$級方陣( i=1,2,… , s),稱爲準對角矩陣.

3.2 性質

(1) 設準對角矩陣 A, B 級數相同，並且分法相同,則

$A=\begin{pmatrix}A_{1} && \\&A_{2} && 0\\&&.\\&&&.\\&0&&&.\\&&&&&A_{s} \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}B_{1} && \\&B_{2} && 0\\&&.\\&&&.\\&0&&&.\\&&&&&B_{s} \end{pmatrix},$

則$A+B=\begin{pmatrix}A_{1}+B_1 && \\&A_{2}+B_2 && 0\\&&.\\&&&.\\&0&&&.\\&&&&&A_{s} +B_s\end{pmatrix}$

$AB=\begin{pmatrix}A_{1}B_1 && \\&A_{2}B_2 && 0\\&&.\\&&&.\\&0&&&.\\&&&&&A_{s} B_s\end{pmatrix}$

(2) 準對角矩陣$A=\begin{pmatrix}A_{1} && \\&A_{2} && 0\\&&.\\&&&.\\&0&&&.\\&&&&&A_{s} \end{pmatrix}$可逆

$\Leftrightarrow |A_i| \neq 0,i=1,...,s \Leftrightarrow A_i$可逆，i = 1,2,…,s

且$A^{-1}=\begin{pmatrix}A_{1}^{-1} && \\&A_{2}^{-1} && 0\\&&.\\&&&.\\&0&&&.\\&&&&&A_{s}^{-1} \end{pmatrix}$

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