【人工智能學習筆記】 1.1數學分析(一) -2.函數

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映射和函數

   定義：設X，Y爲兩個非空集合，如果f是一種規則，對於$\forall x \in X$，在B中有唯一元素f(x)與之對應，則稱f是A到B的映射。

記作：$f: X \rightarrow Y$

  A稱爲f的定義域，記作D(f)=X

  Y中像的全體稱爲映射f的值域，記作R(f)或f(x)

1.函數的定義

   定義1.1: (一元函數定義) 設D爲一個非空集合，如果有一個對應規則f，使每個$x\in D$，都有一個確定的實數y與其對應，則稱f爲定義在D上的一個函數。

記作: $y= f(x), x \in D$ 。

2.函數的幾種性質:

   如何利用函數符號來描述函數的特性。

 2.1 奇函數與偶函數

   $\forall x \in D(f),$$f(-x)=f(x)$ , 則稱爲偶函數;

    $\forall x \in D(f),$ $f(-x)=-f(x)$ , 則稱爲奇函數;

 2.2 單調函數

   $\forall x_1,x_2 \in D,x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ , ( $f(x_1) \leq f(x_2)$),
則稱在上爲單調增加函數(單調非減函數);

   $\forall x_1,x_2 \in D,x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ , ( $f(x_1) \geq f(x_2)$),
  則稱在上爲單調減少函數(單調非增函數);

 2.3 週期函數

 設y = f(x), 若$\exists T>0$，使得f(x) = f(x+T)恆成立，則稱f是以T爲週期的週期函數.

 滿足這個等式的最小正數T, 稱爲函數的最小正週期(或基本週期) 例如考察狄利克函數

 2.4 有界函數

 若$\exists M>0$,使得$\forall x \in D。|f(x)|\leq M$ , 稱f是D上有界函數

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3.複合函數與反函數

 3.1 複合函數

    設 : $y= f(u),u=\varphi(x)$, 稱$y= f(\varphi(x))$ 爲由 $y= f(u),u=\varphi(x)$複合而成的複合函數.
.
    u是中間變量，x爲自變量

 3.2 反函數

    如果 $x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$, 則在定義域D與值域f(D)之間$\forall y \in f(D), \exists !x \in D,y=f(x)$可以將x看作y的函數.這個函數關係是將原來的函數u= f(x)中的自變量與因變量顛倒過來而構成的函數關係,所以把這個函數稱爲y= f(x)的反函數,

    記作: $\Large \color{red}x=f^{-1}(y)$

    由定義可以知道,反函數$f^{-1}$的定義域是函數的值域f(D);
$f^{-1}$ 的值域是函數f的定義域D.

例：原函數與反函數的圖形關於直線y = x對稱

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