【人工智能學習筆記】 1.3高等代數(一) -10.線性組合,向量組的等價,線性相關性,極大無關組

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線性組合,向量組的等價,線性相關性,極大無關組

1.線性組合

1.1 定義

設$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\in P^n,\forall k_1,k_2,...,k_s \in P$

和 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s$

稱爲向量組$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$的一個線性組合.

若向量 $\beta$ 可表成向量組 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$的一個線性組合，則稱向量$\beta$可由向量組$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ 線性表出.

注:

① 若 $\alpha =k\beta$ ，也稱向量 $\alpha$ 與 $\beta$ 成比例

② 零向量0可由任一向量組的線性表出.

③ 一向量組中每一向量都可由該向量組線性表出.

④任一 n維向量 $\alpha=(a_1,a_2,...,a_n)$都是向量組

$\epsilon_1=(1,0,...,0),\epsilon_2=(0,1,...,0),...,\epsilon_n=(0,0,...,1)$的一個線性組合.

事實上，有對任意$\alpha=(a_1,a_2,...,a_n)$皆有$\alpha=a_1\epsilon_1+a_2\epsilon_2+...+a_n)\epsilon_n.$

$\epsilon_1,\epsilon_2,...,\epsilon_n$也稱爲 n 維單位向量組.

2.向量組的等價

2.1 定義

若向量組$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$中每一個向量 $\alpha_i(i=1,2,...,s)$皆可經向量組$\beta_1,\beta_2,...,\beta_t$線性表出，則稱向量組$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$可以經向量組$\beta_1,\beta_2,...,\beta_t$ 線性表出；

若兩個向量組可以互相線性表出，則稱這兩個 向量組等價.

2.2 性質

向量組之間的等價關係具有：

1) 反身性

2) 對稱性

3) 傳遞性

3.線性相關性

3.1 線性相關

定義1：如果向量組$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s(s\geq2)$中有一向量可經其餘向量線性表出，則向量組 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$稱爲線性相關的.

3.2 線性無關

定義2：如果向量組$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$不線性相關，則稱向量組 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$稱爲線性無關的.即

若不存在 P 中不全爲零的數 $k_1,k_2,...,k_s\in P,$使

$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s=0$

則稱向量組$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$爲線性無關的

換句話說， 對於一個向量組$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$,若由

$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s=0$

必有 $k_1=k_2=...=k_s=0$,

則稱向量組$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$爲線性無關的

3.3 線性相關性的有關性質

1）單獨一個向量線性相關當且僅當它是零向量；單獨一個向量線性無關當且僅當它是非零向量.

2）一個向量組中若有一向量爲零向量，則該向量組一定線性相關

3）一向量組線性相關的充要條件是其中至少有一個向量可由其餘向量線性表出.

4）一個向量組中若部分向量線性相關，則整個向量組也線性相關；

5）如果向量組$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ 線性無關，而向量組 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta$線性相關，則 $\beta$ 可經向量組$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$線性表出

3.4 向量組線性相關的基本性質定理

定理2 設 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$ 　與$\beta_1,\beta_2,...,\beta_s$ 爲兩個向量組，若

i) 向量組$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$可經 $\beta_1,\beta_2,...,\beta_r$線性表出；

ii) r > s .

則向量組 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$必線性相關

推論1 若向量組$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$可經向量組 $\beta_1,\beta_2,...,\beta_s$

線性表出，且 $\beta_1,\beta_2,...,\beta_r$線線性無關，則$r\leq s$ .

推論2 任意 n＋1 個 n 維向量必線性相關.

（任意m (>n ) 個 n 維向量必線性相關.）

推論3 兩個線性無關的等價向量組必含相同個數的向量.

4.極大線性無關組　秩

4.1 極大線性無關組

定義1：

設 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$爲$P^n$ 中的一個向量組，它的一個部分組 $\alpha_{i1},\alpha_{i2},...,\alpha_{ir}$ 若滿足

i) $\alpha_{i1},\alpha_{i2},...,\alpha_{ir}$ 線性無關；

ii) 對任意的$\alpha_j(1\leq j\leq s)$可經$\alpha_{i1},\alpha_{i2},...,\alpha_{ir}$線性表出；

則稱$\alpha_{i1},\alpha_{i2},...,\alpha_{ir}$爲向量組$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ 的一個

極大線性無關組，簡稱極大無關組.

注:

1）一個向量組的極大無關組不是唯一的.

2）向量組和它的任一極大無關組等價.

3）一個線性無關的向量組的極大無關組是其自身.

4）一個向量組的任意兩個極大無關組都等價.

5）一個向量組的任意兩個極大無關組都含有相同個數的向量.

4.2 向量組的秩

定義　向量組的極大無關組所含向量個數稱爲這個向量組的秩

性質：

1）一個向量組線性無關的充要條件是它的秩與它所含向量個數相同；

一個向量組線性相關的充要條件是它的秩＜它所含向量個數.

2）等價向量組必有相同的秩.

3）若向量組$\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}$可經向量組 $\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{t}$線性表出，則秩$\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}\leq$秩 $\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{t}$