【人工智能學習筆記】 1.3高等代數(一) -16.可逆矩陣

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可逆矩陣的概念,可逆矩陣的判定、求法,逆矩陣的運算規律,矩陣方程

一. 可逆矩陣的概念

定義

設A爲n級方陣，如果存在n級方陣B，使得

AB＝BA＝E

則稱A爲可逆矩陣，稱B爲A的逆矩陣.

注:

① 可逆矩陣A的逆矩陣是唯一的，記作 $A^{-1}$ .

② 可逆矩陣A的逆矩陣$A^{-1}$也是可逆矩陣，且

$(A^{-1})^{-1}=A.$

③ 單位矩陣 E 可逆，且$(E^{-1})=E.$

二. 矩陣可逆的判定及逆矩陣的求法

2.1 伴隨矩陣

定義 設　$A_{ij}$ 是矩陣$A=(a_{ij})_{n \times n}$中元素$a_{ij}$的代數餘子式，矩陣

$A^*=\begin{pmatrix}A_{11} & A_{21} & ... &A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & ... &A_{n2} \\ ... & ... & ...&... \\ A_{1n} & A_{2n} & ... &A_{nn}\end{pmatrix}$

稱爲A的伴隨矩陣.

性質： $AA^*=A^*A=|A|E$

2.2 定理：

定理 矩陣A可逆當且僅當$|A|\neq 0,$(即A非退化的)，且

$\Large A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}$

2.3 推論：

推論 設A、B爲 n 級方陣，若 AB = E ,則A、B皆爲可逆矩陣，且 $A^{-1}=B,B^{-1}=A$

三. 矩陣可逆的判定及逆矩陣的求法

(1) 若A可逆，則$A^{-1}$亦可逆 ，且$(A^{-1})^{-1}=A$

(2) 若A可逆，數$\lambda \neq0$,則$\lambda A$可逆,且

$\large(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda} A^{-1}$

(3) 若A,B爲同階方陣且均可逆 ,則AB亦可逆 ,且

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

推廣 $(A_1A_2...A_m)^{-1}=A_m^{-1}...A_2^{-1}A_1^{-1}.$

(4) 若A可逆,則$A^T$亦可逆 且$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$

(5) 若A可逆,則 $A^*$亦 可逆，且$\large (A^*)^{-1}=\frac{A}{|A|}$

(6) 若A可逆,則 $A^k$亦 可逆，且$\large (A^k)^{-1}=(A^{-1})^k$

四. 矩陣方程

4.1 線性方程組$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+...a_{1n}x_n=b_1\\ ...\\a_{n1}x_1+...a_{nn}x_n=b_n\\ \end{matrix}\right.$ (1)

令$A=(a_{ij})_{n \times n},X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\.\\.\\.\\x_n\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\.\\.\\.\\b_n\end{pmatrix}$

則（1）可看成矩陣方程 AX = B .

若A爲可逆矩陣，則 $X=A^{-1}B$.

4.2 推廣

① 矩陣方程$A_{n \times n}X_{n \times s} =B_{n \times s}$

若A爲可逆矩陣，則 $X=A^{-1}B$.

② 矩陣方程$X_{m \times n}A_{n \times n} =B_{m \times n}$

若A爲可逆矩陣，則 $X=BA^{-1}$.

③ 矩陣方程$A_{n \times n}X_{n \times s} B_{s \times s}=C_{n \times s}$

若A, B皆可逆，則 $X=A^{-1}CB^{-1}$.

4.3 矩陣積的秩

定理 $\forall A_{s \times s}，$若$P_{s \times s}.Q_{n \times n}$可逆，則

R(A) = R(PA) = R(AQ) = R(PAQ)