【人工智能學習筆記】 1.1數學分析(一) -7.導數

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導數

   導數是通過一些物理，幾何學等的應用中抽象出來的概念，瞬時速度和平均速度對應。

   平均速度=$\large\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t} =\overline{v}$

   瞬時速度=$\large \lim_{\Delta t \rightarrow0}\frac{\Delta s}{\Delta t}= \lim_{\Delta t \rightarrow0}\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t} =v(t_0)$

   幾何學中的切線的斜率也是導數

   切線斜率=$\large \lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} =k$

1.導數的定義

   設函數y=f(x)在$x_0$的某鄰域$U(x_0,\delta)$內有定義，如果極限

   $\large \lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

存在，則稱函數y=f(x)在點$x_0$處可導。 並且此極限爲y=f(x)在點$x_0$處的導數，

記作$f'(x_0)$或$y'(x)|_{x=x_0}$或$\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}$或$\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}$。

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2.導數的四則運算

和：$\color{red}(u+v)'=u'+v'$

差： $\color{red}(u-v)'=u'-v'$

積：$\color{red}(uv)' = u'v+uv'$

商：$\color{red}\Large(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

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3.鏈式法則 Chain Rules $\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar$

鏈式法則適用於計算機的所有領域，是自然科學中最重要的法則之一。

$\color{red}\Large{\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} . \frac{dx}{dt}}$

例:

$\frac{d}{dt}(sint)^{10}$

解：
1) 令 x =sint
2) $=10x^9.cos(t)$
3) $= 10(sint(t))^{9}.cos(t)$

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4.反函數求導法則

如果函數$x=\varphi(y)$在某區間$I_y$內單調，可到且$\varphi'(y) \neq0,$則它的反函數y=f(x)在對應區間$I_x$內也可導， 且有

$\large f'(x)=\frac{1}{\varphi'(y)}$

即 反函數的導數等於直接函數導數的倒數

5.對數函數，參數式函數性質

 5.1 對數函數性質

$\large ln(ab)=lna+lnb$

$\large ln\frac{a}{b}=lna-lnb$

$\large ln(a^b)=blna$

 5.2 參數式函數定義

  若參數方程$\left\{\begin{matrix} x=x(t)\\ y=y(t) \end{matrix}\right.$確定y與x之間的函數關係，稱此函數爲參數方程

6.高階導數的定義

 如果函數f(x)的導數f’(x)在點x處可導，即

$\lim_{\Delta x \rightarrow0}\frac{f'(x+\Delta x)-f'(x)}{\Delta x}$

存在，則稱爲函數f(x)在點x處的二階導數。

記作 $f''(x), y'', \Large\frac{d^2y}{dx^2}$或$\Large \frac{d^2f(x)}{fx^2}$

n階導數的定義爲:

$f^{(n)}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow0}\frac{f^{(n-1)}(x+\Delta x)-f^{(n-1)}(x)}{\Delta x}$