【人工智能學習筆記】 1.3高等代數(一) -11.矩陣的行秩、列秩、秩，矩陣的秩的有關結論，矩陣秩的計算

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矩陣的行秩、列秩、秩，矩陣的秩的有關結論，矩陣秩的計算

1.矩陣的行秩、列秩、秩

1.1 定義

設$A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{11} &a_{12} & ... &a_{1n} \\ ... & ... &... &... \\ a_{s1} &a_{s2} & ... &a_{sn} \end{pmatrix}$

則矩陣 A 的行向量組$(a_{i1},a_{i2},...,a_{in}),i=1,2,...,s$的秩稱爲矩陣 A 的行秩；

矩陣 A 的列向量組$A=\begin{pmatrix} a_{1j} \\a_{2j} \\.\\.\\.\\a_{sj}\end{pmatrix},j=1,2,...,n$的秩稱爲矩陣 A 的列秩.

定理4 矩陣的行秩＝矩陣的列秩．

1.2 矩陣的秩

矩陣的行秩與矩陣的列秩統稱爲矩陣的秩，

記作秩A 或 rank (A) R (A).

注

① 若A=0，則 R (A)=0.

② 設$A=(a_{ij})_{s\times n}$，則 $R (A) \leq min(s,n)$

若R (A)=s則稱A爲行満秩的；

若R (A)=n則稱A爲列満秩的.

2.k 級子式

2.1 定義

在一個 s×n 矩陣 A 中任意選定 k 行 k 列$(1\leq k \leq min(s,n),$位於這些行和列的交點上的$k^2$個元素按原來次序所組成的 k 級行列式，稱爲矩陣A的一個k級子式．

定理6 矩陣 A的秩爲 r 的充要條件是A中有一個 r 級子式不等於0，且所有 r + 1級子式等於0．

3.矩陣秩的計算

2.1 定義

方法一　按定義求出A的行(列)向量組的秩.

方法二　利用定理6，R A A ( )等於 中非零子式的最大級數.

方法三　用初等變換化 A 爲階梯陣 J，R(A)等於J中非零行的行數.

原理：初等變換不改變矩陣的秩；

階梯陣的秩等於其中非零行的行數．