人工智能教程 - 數學基礎課程1.4 - 高等代數(二)-19+行列式,特徵值和特徵向量

行列式公式及其餘子式

Formula for det A (n! iterms)

大公式(BIG FORMULA)

$detA = sum\pm a_{1\alpha }+a_{2\beta }+a_{3\gamma }+...a_{n\omega }$

n! terms

$\alpha, \beta,\gamma,...\omega$ = 排列(Permutation of (1,2,3,…n))

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代數餘子式(Cofactor formula)

$3\times 3$

$det = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})$$+a_{12}(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )$$+a_{13}(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )$

括號裏的餘子式(in parens)

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特徵值和特徵向量

(Eigenvalues —Eigenvectors)

$det [A-\lambda I]= 0$

TRACE = $\lambda_1+ \lambda_2+... \lambda_n$

Ax parallel to x
Those are eigenvectors

大等式(BIG EQUATION)

$Ax =\lambda x$

$\lambda$: 爲所乘係數(multiplying factor), 特徵值

x: 爲特徵向量

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對角化和A的冪

(Diagonaliging a matrix $S^{-1}AS=\lambda$)

Powers of A equation $u_{k+1}=A_{u_k}$

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馬爾科夫矩陣

(Markov matrices)

Ex:
$A=\begin{bmatrix} 0.1 & 0.01 & 0.3\\ 0.2& 0.99 &0.3 \\ 0.7& 0& 0.4 \end{bmatrix}$

原則：

1. 所有元素$\geq$ 0 (All entires $\geq$ 0)
2. 每一列加起來都爲1(all columns add to 1)

方法：

1. $\lambda=1$ is an eigenvalue
2. All other $\lambda_i<1$
   $u_k=A^ku_0=c_1\lambda_1^kx_1+c_2\lambda_2^kx_2$