【人工智能學習筆記】 1.1數學分析(一) -3.數列極限

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數列極限

概念引入：求圓的面積

$A_1,A_2,A_3,...,A_n,...\Rightarrow$無窮次逐步逼近過程

1.數列定義

   按自然數編號依次排列的一列數
   $x_1,x_2,x_3,...,x_n,...$

   稱爲無窮數列，簡稱數列，

   記作{$x_n$}

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2.數列極限的定義

  給定數列{$x_n$}，a爲常數，如果對於$\forall \varepsilon >0$，都存在一個正整數N，使n>N時，成立|$x_n$-a|<$\varepsilon$，
則稱當n趨向於無窮大時，數列{$x_n$}以a爲極限。記作：

$\Large\color{red}\lim_{x\rightarrow\infty}x_n=a$

  如果數列沒有極限，就稱數列是發散的。

注意

(1)：定義中的$\varepsilon$刻畫了$x_n$與a的逼近程度，定義中的$\varepsilon$可以限制$\varepsilon \leq a$.可以記作成N($\varepsilon$)，但不能看作是$\varepsilon$的函數，因爲$\varepsilon$確定時，N可以不唯一。

(2)：定義中的N和$\varepsilon$有關，僅要求存在，一般$\varepsilon$越小，N越大。

2.1 邏輯符號表述

$\varepsilon$ -N 定義：$\lim_{x\rightarrow\infty}x_n=a \Leftrightarrow$
$\forall \varepsilon>0,\exists N>0,$ 使n>N時,恆有$|x_n-a|<\varepsilon$.

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3.收斂數列的性質

3.1 有界性

   定理1：收斂的數列必定有界

3.2 唯一性

   定理2：每個收斂的數列只有一個極限

3.3 保號性

   （1）設$\lim_{x\rightarrow\infty}x_n=a >0$ 則$\exists N>0,$當n>N時有$x_n>0$.

   （2）設$\lim_{x\rightarrow\infty}x_n=a <0$ 則$\exists N>0,$當n>N時有$x_n<0$.

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4.數列收斂性的判別準則

  單調有界，必有極限