聲明:部分內容來自於慕課,公開課等的PPT課件,僅供學習使用。如有問題,請聯繫刪除。
部分內容來自電子科技大學,北京大學,清華大學等的課件
無窮小量
1.無窮小及其階
1.1 無窮小和無窮大的定義
無窮小的定義: 當x→x0或x→∞時,極限爲零的函數稱爲無窮小量,
簡稱無窮小
1.2 無窮小的階
例: 當x→0時,x,x2,sinx都是無窮小
limx→03xx2=0,x2比3x要快得多
limx→03xsinx=31,sinx比3x大致相同
極限不同,反映了無窮小趨向於零的"快慢"程度不同。
1.3 無窮小的比較
定義:假設α,β是同一過程中的兩個無窮小量,且α=0.
(1)如果limαβ=0,則稱β是比α高階的無窮小, 記作β=o(α);
(2)如果limαβ=C(C=0),則稱β與α是同階的無窮小;
特殊地 如果limαβ=1,則稱β是α的k價的無窮小;記作α∼β;
(3)如果limαkβ=C,則稱β與α是等價的無窮小;記作α∼β;
2.等價無窮小替換定理(法則):
2.1 定理: 等價無窮小替換定理(法則)
設α∼α′,β∼β′(α′=0,β′=0),且limα′β′=A或∞,則
limαβ=limα′β′;
2.2 無窮小等價代換
(1)sinx∼x;
(2)tanx∼x;
(3)arcsinx∼x;
(4)ex−1∼x;
(5)ln(1+x)∼x;
(6)(1+x)α−1∼x;
(7)1−cosx∼2x2;