【人工智能學習筆記】 1.1數學分析(一) -6.連續函數

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連續函數

引言：

函數的增量:

設函數f(x)在$U(x_0,\delta)$內有定義，$\forall x \in U(x_0.\delta),$
$\Delta x=x-x_0,$稱爲自變量在點$x_0$的增量
($x=x_0+\Delta x$)
$\Delta y=f(x_0+\Delta x_-f(x_0),$稱爲函數f(x)相應於$\Delta x$的增量。

1 函數連續的定義及其性質

1.1 函數連續性的直觀定義

   函數的連續性描述函數的漸變性態,在通常意義下，我們對函數連續性有三種描述：
   其一，當自變量有微小變化時,其函數的變化也是微小的；
   其二, 自變量的微小變化不會引起因變量跳躍；
   其三，從幾何上理解,連續函數的圖形可以一筆畫成,無間斷.

   以上只是連續性的直觀理解, 實質上是相意的反覆, 在數學上要確切地刻畫函數連續概念, 必須用極限作定量地描述:

1.2 函數連續性的定義

  定義1: 設函數f(x)在的鄰域$U(x_0,\delta)$中有定義, 如果當自變量的增量$\Delta x$趨向於零時,對應的函數增量$\Delta y$也趨向於零，即$\lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\Delta y=0,$則稱函數f(x)在點$x_0$連續, $x_0$稱爲是f的一個連續點;否則就稱f(x)在點$x_0$間斷, $x_0$稱爲是的一個間斷點.

注一: 函數f在點x0連續蘊含以下三個條件，缺一不可:

(1) f在$x_0$的某鄰域有定義;

(2) f在點$x_0$的極限存在;

(3)極限值等於函數值: $\lim_{\Delta x\rightarrow x_0 }f(x)=f(x_0)$。

以上三條有一個不滿足，則稱函數f(x)在$x_0$處不連續

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定義2: “$\varepsilon-\delta$定義”

$\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,$使當|$x-x_0$|< $\delta$時，恆有$|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$

1.3 間斷點分類：

• 第一類間斷點:
  • 可去間斷點
  • 跳躍間斷點
• 第二類間斷點

2.連續函數的運算性質：

定理 若函數f(x), g(x)在點$x_0$處都連續, 則

(1)$f(x)\pm g(x)$, (2)$f(x) . g(x)$, (3)$\Large\frac{f(x) }{g(x)}$ $(g(x_0)\neq0)$也都連續

定理2 單調連續函數的反函數必單調連續

3.初等函數的連續性

重要結論是：所有初等函數在其定義區間內都是連續的。

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4.在閉區間上連續函數的整體性質

(1) 有界性和取最值定理

定義：對於在區間I上有定義的函數f(x),如果有$x_0 \in I$,使得對於任一$x\in I$都有，

$f(x)\leq f (x_0)(f(x)\geq f (x_0))$

則稱$f(x_0)$是函數f(x)在區間I上的最大(小)值。

例如：y= 1+sinx,在[0,2$\pi$]上，$y_{max}=2,y_{min}=0.$

定理1（最大值和最小值定理） 在閉區間上連續函數一定存在最大值和最小值。

定理2（有界性定理） 在閉區間上連續函數一定在該區間上有界。

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(2) 介值定理

若$f(x)\in C[a,b]$且$f(a)\neq f(b)$,則f(a)<c<f(b)（或f(b)<c<f(a)）,其中c爲常數，則存在$\xi \in(a,b)$，使得$f(\xi)=c$