【人工智能學習筆記】 1.2數學分析(二) -4.方向導數與梯度

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方向導數與梯度

1 方向導數的定義

   函數的增量$f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$與PP’兩點間的距離$\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$之比值，當$P'$沿着$l$趨於P時，如果此比值的極限存在，則稱此極限爲函數在點P沿方向$l$的方向導數

記作：$\Large\frac{\partial f}{\partial l}|_r=\lim_{p \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\rho}$

2 梯度

   設函數f(x,y)的定義域爲D，f在點$P(x,y) \in D$可微，則稱向量$\large\frac{\partial f}{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\overrightarrow{j}$爲f在點P(x,y)的梯度，記爲gradf,

   即gradf=$\Large\frac{\partial f}{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\overrightarrow{j}$，或gradf=($\Large\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}$).

注：梯度表示的是一個向量。

梯度的應用