【人工智能學習筆記】 1.2數學分析(二) -3.多元函數微分學：偏導數

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多元函數微分學：偏導數

引言：

研究弦在點$x_0$處的振動速度:

振動速度：$u(x_0,t)對t的導數$

  $v(x_0,t)=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{u(x_0,t+\Delta t)-u(x_0,t)}{\Delta t}$

   設函數$z=f(x,y),P(x,y)\in D_f$,令y暫時固定，x取得該變量$\Delta x$,此時，函數的增量稱爲函數關於x的偏增量，記作

$\Delta _xz=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$

1 偏導數

1.1 偏導數定義

   設函數$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$的某一鄰域內有定義，當y固定在$y_0$而x在$x_0$處有增量$\Delta x$時，如果

   $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$

   存在，則稱此極限$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處對x的偏導數。

 記作 $\frac{\partial z}{\partial x}|_{x=x_0,y=y_0}或f_x(x_0,y_0)$

1.2 高階偏導數

二階偏導數：

   $\Large\frac{\partial(\frac{\partial z}{\partial x})}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial ^2z}{\partial x^2}=f_{xx}(x,y)$

   $\Large\frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial y})=\frac{\partial ^2z}{\partial y^2}=f_{yy}(x,y)$

二階混合偏導數：

   $\Large\frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}=f_{xy}(x,y)$

   $\Large\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial y})=\frac{\partial ^2z}{\partial y\partial x}=f_{yx}(x,y)$

2 全微分

2.1 全增量定義

2.2 全微分定義